高等数学求极限的问题

Question

图里红笔写的这个极限能这么化简吗？直接将cosx=1，为什么这个最后我求出来是错的呢？

Answer 1

直接洛必达法则即可，方法如下图所示，请作参考，祝学习愉快：

追问

谢谢 不过答案是e^（-8）

谢谢 不过e^4是错的 答案是e^（-8）

追答

注意看前面，
以为求红方框的极限😂

Answer 2

解答：
这种题目以后再次碰到不要去计算，用眼睛观察一眼得出极限为∞
我试了你的方法，约掉根号2x+1最后结果也得不到1啊，这里的x是趋近于∞，不是趋近于0

我告诉你以后这种题目如何用肉眼观察，这也是教材上的方法！
形如：
lim(x→∞)[a0x^m+a1x^(m-1)+a2x^(m-2)+……+amx^1]/[b0x^n+b1x^(n-1)+b2x^(n-2)+……+bmx^1)（其中a0、a1、……、am和b0、b1、……、bm均为系数）
这样的极限形式有三种情况：
①当m>n时，极限为∞
②当m<n时，极限为0
③当m=n时，极限为a0/b0
显然你这道题属于第一种情况，分子的最高次数是2，分母的最高次数是1，2>1，因此极限为无穷大。

所以呢，如果以后碰到这种题目，只需要观察分子的最高次数和分母的最高次数的大小就可以了！

Answer 3

x->0
分母
xcosx = x- (1/2)x^3 +o(x^3)
arctanx = x-(1/3)x^3 +o(x^3)
xcosx -arctanx = -(1/6)x^3+o(x^3)
分子
arctanx = x-(1/3)x^3 +o(x^3)
arctanx/x =1-(1/3)x^2 +o(x^2)
arctanx/x -1 =-(1/3)x^2 +o(x^2)
//
lim(x->0) x. [ arctanx/x -1 +∫(0->x) f(u)du ]/[√(1+xcosx) -√(1+arcanx) ]

=lim(x->0)x.[ arctanx/x -1+∫(0->x) f(u)du ].[√(1+xcosx) +√(1+arcanx) ]/(xcosx -arctanx)
=2lim(x->0)x.[ arctanx/x -1+∫(0->x) f(u)du ]/(xcosx -arctanx)
=2lim(x->0)x.[ arctanx/x -1+∫(0->x) f(u)du ]/【-(1/6)x^3】
=-12lim(x->0) [ arctanx/x -1+∫(0->x) f(u)du ]/x^2
=-12lim(x->0) [ -(1/3)x^2+∫(0->x) f(u)du ]/x^2
(0/0) 分子分母分别求导
=-12lim(x->0) [ -(2/3)x+f(x) ]/(2x)
=-12 ( -1/3 + 1)
=-8