（本题满分10分）如图，已知四棱锥 底面 为菱形， 平面 ， ， 分别是 、 的中点. (1)证明： (2)

Question

（本题满分10分）如图，已知四棱锥 底面 为菱形， 平面 ， ， 分别是 、 的中点. (1)证明： (2)设 ， 若 为线段 上的动点， 与平面 所成的最大角的正切值为 ，求此时异面直线AE和CH所成的角.

Answer 1

．（1）证明：见解析；（2）异面直线所成角30 0

试题分析：（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案； （Ⅱ）先根据条件由（1）知AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE= ，所以 当AH最短时，∠EHA最大进而得到异面直线的所成的角。 （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， 可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点， 所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.  因为PA⊥平面ABCD， AE 平面ABCD，所以PA⊥AE.而 PA 平面PAD， AD 平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD， 又PD 平面PAD.所以 AE⊥PD. （2）解：设AB=2，H为PD上任意一点， 连接AH，EH. 由（1）知AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE= ，所以 当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA= 因此AH= .又AD=2，所以∠ADH=45所以 PA=2. 异面直线所成角30 0 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题