线性代数 二次型化为标准型时候求出来的基础解系怎么判断用不用正交化 还有怎么看哪几个基础解系需要
线性代数 二次型化为标准型时候求出来的基础解系怎么判断用不用正交化 还有怎么看哪几个基础解系需要正交化 这道题用吗？
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交啊，不需要正交化了～
我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系构成矩阵，需要施密特正交变换(正交化)，然后单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。
我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系构成矩阵，需要施密特正交变换(正交化)，然后单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。
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第1个回答 2014-12-24
两向量正交，即对应元素相乘后乘积只和为0，则正交。不同特征值的特征向量需正交，同一特征值的不同特征向量需正交。该题需正交化。追问
三个都正交吗？
追答1和2不正交
追问所以只需要12正交化对吗
追答是的
第2个回答 2014-12-24
这实际上就是说用正交对角化的方法求标准型追问
为什么有的基础解系就不用正交化
追答
不只是正交化，还要单位化，不过对对称矩阵，对应不同特征值特征向量自然正交
追问还是看不太懂。。我这个题接下来怎么做？
追答你这快做完了，直接把单位正交向量组成正交阵就行了
但是12不正交啊
追答哎？你算的什么呀，算错了吧，我都没注意
那明显是-1呀，怎么会是-2
追问啊 不好意思…
所以这三个两两正交 直接写就可以了 对吗？
追答
单位化后直接写
追问
这样？
追答嗯
追问十分感谢…
本回答被提问者采纳第3个回答 2019-08-10
实对称矩阵要正交化，不是实对称矩阵就不用了