在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c=4，求AC边...

Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c=4，求AC边上中线长的最小值

Answer 1

因为acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
所以2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
即sin2B=sin(A+C)
用△ABD，设AC边上中线长X
有（2X)^2=a^2+c^2-2accos120º
所以(2X)^2=(a+c)^2-ac
16-(2X)^2≤4
X≥√3
最小值√3

Answer 2

∵2 bcosB=acosC+ccosA,∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB
∵sinB≠0，∴2cosB=1，cosB=1/2，设AC边上中线长为L，
(2L)^2=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac=16－ac
∵a+c=4，∴ac≤4,∴(2L)^2≥12，∴L≥根号3