求幂级数[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n的收敛半径与收敛区间，请给出详细

Question

求幂级数[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n的收敛半径与收敛区间，请给出详细步骤谢谢！

Answer 1

把z^2看成一个整体x，则幂级数的收敛半径是2，也就是z^2。

lim(n->∞)│[(2n+1)x^(2n)/2^(n+1)]/[(2n-1)x^(2n-2)/2^n]│=lim(n->∞){[(2n+1)x²]/[2(2n-1)]}
=lim(n->∞){[(2+1/n)x²]/[2(1-1/n)]}=x²/2。

根据函数项级数收敛域（比值判别法）的求法计算，并利用逐项求导或逐项积分的方法结合已知函数的幂级数展开式来计算和函数。

扩展资料：

注意事项：

幂级数至少有一个收敛点。

幂级数在其收敛区间内是绝对收敛的，在收敛区间的端点发散、绝对收敛和条件收敛都是可能的。

如果一个级数是利用比值判别法或根式判别法判别其非绝对收敛，则可断定原级数必发散。

而幂级数的收敛区间正是利用比值判别法或根式判别法来求得的。而在收敛区间的端点的绝对收敛性不是用这两种判别法来判别的。

参考资料来源：百度百科-收敛半径

参考资料来源：百度百科-幂级数

参考资料来源：百度百科-收敛

Answer 2

|u(n+1) / un| → x²/2 ＜1，
则 -√2 ＜x ＜√2，
当 x=±√2 时，un=(2n-1)/2，显然级数发散，
所以收敛半径为 R=√2，
收敛域为(-√2，√2) 。

Answer 3

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Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示