求幂级数∑(1，+∞)(2n+1/2^n)x^2n在收敛区间内的和函数，并求∑(2n+1/2^n)

Question

如题所述

Answer 1

S=[∞∑n=1] [(2n-1)*x^bai(2n-2)]/2^n

积分得： [∞∑n=1] [x^(2n-1)]/2^n

=(1/x) [∞∑n=1] [x^2/2]^n=(1/x)(x^2/2)/(1-x^2/2)=x/(2-x^2) |x^2/2|<1或|x|<√2

微分得：S=[x/(2-x^2)]'=(2+x^2)/(2-x^2)^2 |x|<√2

令x=1：[∞∑n=1] (2n-1)/2^n=3

扩展资料

幂级数的性质：

1、幂级数的和函数在其收敛域I上连续。

2、幂级数的和函数在其收敛域I上可积，逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

3、幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式，逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

参考资料来源

百度百科-幂级数

Answer 2

如图所示：

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Answer 3

南林的吧啊哈哈哈哈