1/2ln2。
解答过程如下:
∫1/x(x^2+1)dx
=∫x/[x^2(x^2+1)]dx
=1/2∫1/[x^2(x^2+1)]dx^2
=1/2∫1/x^2-1/(x^2+1)dx^2
=1/2lnx^2/(x^2+1)+C
代入积分上下限可得:1/2lnx^2/(x^2+1)[1→+∞)=1/2ln2。
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系。
定理
一般定理
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。
1/2ln2。
解答过程如下:
∫1/x(x^2+1)dx
=∫x/[x^2(x^2+1)]dx
=1/2∫1/[x^2(x^2+1)]dx^2
=1/2∫1/x^2-1/(x^2+1)dx^2
=1/2lnx^2/(x^2+1)+C
代入积分上下限可得:1/2lnx^2/(x^2+1)[1→+∞)=1/2ln2。
扩展资料:
不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
求积分的方法:
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数,再把f(x)看为一个整体,求出最终的结果。(用换元法说,就是把f(x)换为t,再换回来)。
分部积分,就那固定的几种类型,无非就是三角函数乘上x,或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的,记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)变形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式,当然x可以换成其他g(x)。
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
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