要正确判断复合函数的单调性，我们需要了解几个关键概念：函数、单调性、复合函数以及导数。
函数：在数学中，函数是两个集合之间的一种特殊关系，其中一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
单调性：如果一个函数在其定义域内满足对于任意两点x1和x2，当x1 < x2时，总有f(x1) ≤ f(x2)（对于单调递增）或f(x1) ≥ f(x2)（对于单调递减），则称该函数为单调函数。
复合函数：如果有两个函数f和g，我们可以构造一个新的函数h，使得h(x) = f(g(x))。这样的函数h称为复合函数。
导数：导数是微积分中的一个基本概念，它描述了一个函数在某一点处的瞬时变化率。如果函数f在点x处可导，那么它的导数记为f'(x)。
要判断复合函数的单调性，我们可以使用链式法则和导数的性质。链式法则是微积分中的一个基本定理，它描述了复合函数导数的计算方法。具体来说，如果有两个函数f和g，它们的复合函数为h(x) = f(g(x))，那么复合函数h在点x处的导数可以通过下面的公式计算：
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
这个公式告诉我们，复合函数的导数是内函数在外函数处的导数乘以外函数在内函数处的导数。
有了这个公式，我们就可以通过分析复合函数的导数来判断其单调性了。具体步骤如下：
确定复合函数的内外两个函数，并计算它们各自的导数。
应用链式法则计算复合函数的导数。
分析复合函数导数的符号。如果导数恒大于等于零，则复合函数在该区间上单调递增；如果导数恒小于等于零，则复合函数在该区间上单调递减；如果导数在定义域内有正有负，则需要进一步分析导数为零的点，这些点可能是单调性的改变点。
对于导数为零的点，可以使用二阶导数测试或者直接分析一阶导数在这些点的左右两侧的符号变化，以确定这些点是极大值点还是极小值点，从而进一步确定复合函数的单调区间。
总结起来，判断复合函数单调性的关键步骤是：
确定内外函数及其导数。
应用链式法则计算复合函数导数。
分析导数符号确定单调区间。
对于导数为零的点，进一步分析确定单调性的改变点。
通过这些步骤，我们可以准确地判断复合函数的单调性。需要注意的是，这个过程可能需要较高的数学技巧，特别是在处理复杂的函数时。此外，对于实际应用问题，还需要结合问题的具体背景来分析函数的单调性。
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