如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD是一等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD是一等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G是AD的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）取AB、PC的中点M、N，求证：MN∥平面PAD；（3）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

解答：（1）证明：∵ABCD为菱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，且G为AD的中点，
∴BG⊥AG，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD．
（2）证明：取PD的中点H，连结AH与HN．
∵H、N分别为PD、PC的中点，
∴HN∥CD，且HN=

1

2

CD，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且AB=CD．
又∵M为AB的中点，∴AM∥CD，且AM=

1

2

CD．
∴HN∥AM，且HN=AM，
∴四边形AMNH是平行四边形，
∴AH∥MN，
又∵AH?平面PAD，MN不包含于平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（8分）
（3）解：由前证明可得：PG垂直于平面ABC，AD垂直于平面PGB，
得到：AD垂直BG和BP，又AD平行于BC，
即得：BC垂直于BG和BP，
则二面角A-BC-P的平面角为∠PBG．
∵△ABD为等边三角形，
侧面PAD是一等边三角形，
∴在三角形PBG中，∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的大小为45°．…（12分）

Answer 2

解：
（1）证明：△ABD为等边三角形且G为AD的中点，
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD。
（2）证明：△PAD是等边三角形且G为AD的中点，
∴AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，
又平面PBG，
∴AD⊥PB。
（3）解：由AD⊥PB，AD∥BC，
∴BC⊥PB，
又BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角，
在Rt△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°。