x^3-2y^2=10722求不定方程的正整数解.

Question

如题所述

Answer 1

我们可以通过变量代换的方法来解决这个不定方程。令：
a = x + y
b = x - y
则有：
x = (a + b) / 2
y = (a - b) / 2
将其代入原方程得：
((a+b)/2)^3 - 2((a-b)/2)^2 = 10722
化简可得：
a^2 - 3b^2 = 42888
这是一个二次型不定方程。我们可以使用辗转相除法和一些其他数学技巧来解决它。
首先，我们注意到当 a 和 b 都是偶数时，等式左边为偶数，而 42888 是奇数，因此 a 和 b 必须有一个是奇数。此外，由于 b^2 除以 3 的余数只能是 0 或 1，因此 a^2 除以 3 的余数只能是 0 或 2。
我们尝试将方程两边同时除以 3，得：
(a/3)^2 - b^2 = 14296
令 m = a/3，我们得到一个与原方程形式类似的不定方程：
m^2 - 3b^2 = 14296
这是一个平方剩余方程，因为 3 是素数且 3 不整除 14296。因此，我们可以使用 Pell 方程的解法来求出它的正整数解。
我们可以从最小正整数解开始，通过递推的方式来生成所有正整数解。最小正整数解可以通过计算 3 的平方根来得到：
sqrt(3) ≈ 1.73205080757
因此，
m1 = 2, b1 = 2
我们可以使用以下递推公式来计算下一个解：
m(k+1) = 2m(k) + 3b(k)
b(k+1) = m(k) + 2b(k)
通过计算，我们可以得到：
m2 = 13, b2 = 13
m3 = 82, b3 = 83
m4 = 493, b4 = 493
m5 = 2950, b5 = 2951
因此，方程 a^2 - 3b^2 = 42888 的正整数解为：
a = 9m + 3b, b = b
(a, b) = (2667, 874)
注意到我们得到的解是 a 和 b 的线性组合，因此我们还需要验证这个线性组合是否能够得到正整数解 (x, y)。将 a 和 b 代入原来的代换式中得到：
x = (a + b) / 2 = 1770
y = (a - b) / 2 = 897
因此，不定方程 x^3 - 2y^2 = 10722 的正整数解为：
(x, y) = (1770, 897)。

Answer 2

刚才用 Excel 计算了一下当 y = 1 → 5242875，没有对应的同为正整数的 x 值存在！