求证明对勾函数单调性

Question

如题所述

Answer 1

证明过程如下：

设x1,x2属于（0，+∞） x1＜x2。

f(x1)-f(x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2。

x1-x2＜0 x1x2＞0。

在（0,√a]上 x1x2＜a 所以 x1x2-a＜0，所以单调递减。

在（√a，+∞）上 x1x2＞a 所以 x1x2-a＞0，所以单调递增。

同理（-√a，0）单调递减 （-∞，-√a）单调递增。

扩展资料：

对勾函数的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定。理科数学变化更为复杂。

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号b/根号a，有最小值是2√ab

当x<0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：－2√ab

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

Answer 2

证明过程如下：

设x1,x2属于（0，+∞） x1＜x2。

f(x1)-f(x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2。

x1-x2＜0 x1x2＞0。

在（0,√a]上 x1x2＜a 所以 x1x2-a＜0，所以单调递减。

在（√a，+∞）上 x1x2＞a 所以 x1x2-a＞0，所以单调递增。

同理（-√a，0）单调递减 （-∞，-√a）单调递增。

定义

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

本回答被网友采纳

Answer 3

y=ax+b,ab>0,俗称对勾函数，对号函数。
y=ax+b,ab<0,俗称对勾函数。
我更赞成叫海鸥函数。前者像在海面翱翔的一只海鸥及其倒影；后者像两只海鸥斜插海面。
当a≠0，b≠0时，函数f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“相加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，函数f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。俗称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
当a，b异号时，函数f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
首先，函数f(x)=ax+b/x是奇函数，图象关于原点对称。
其次，函数f(x)=ax+b/x是定义域上分段的有相同单调性的单调函数。
再次，函数f(x)=ax+b/x有两个零点x=±√(-b/a)。
最后，函数f(x)=ax+b/x当x→0±时，y→干∞;当x→±∞时，y→±∞.本回答被网友采纳

Answer 4

设x1,x2属于（0,+∞） x1＜x2
f(x1)-f(x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2
x1-x2＜0 x1x2＞0
①在（0,根号a]上 x1x2＜a 所以 x1x2-a＜0 所以单调递减
②在（根号a,+∞）上 x1x2＞a 所以 x1x2-a＞0 所以单调递增
同理（-根号a,0）单调递减 （-∞,-根号a）单调递增