用定义指出2x次幂在x=1处的导数

Question

如题所述

Answer 1

y=2^x在x=1的导数。
解：方法一：用倒数公式，y=a^x,y'=a^xlna.
y=2^x是y=a^x在a=2时候的特殊情况。
当然能使用这个公式，
y'=2^xln2.
x=1,y'=2^1ln2=2ln2。
方法二：定义法：
f'/x=x0=limh-0[f(x0+h)-f(x0）]/h
f(x)=2^x.然后x0=1
f'/x=1=limh-0[f(1+h)-f(1)]/h
=limh-0[2^(1+h)-2^1]/h
=limh-0(2x2^h-2)/h
=limh-0[2(2^h-1)]/h
=2limh-0(2^h-1)/h
h-0,2^h-1=2^0-1=1-1=0
h-0,h-0
则代数式为0/0型。
然后用洛必达法则，
(2^hln2-0)/1
=2^hln2
=2^0ln2=1xln2=ln2
则f'/x=1的值=2ln2。
两种方法计算出来的结果相同，都是2ln2。
则两种方法的计算结果都是正确的。