必要性：因为β可以被表示且表示方法唯一，设β=ua1+va2+wa3......(1)
假设a1a2a3线性相关，则存在不全是0的x1,x2,x3使得x1a1+x2a2+x3a3=0......(2)
（1）式+（2）式：
β=（u+x1)a1+(v+x2)a2+(w+x3)a3，则β有另一种表示，矛盾
必要性得证
充分性：已知a1a2a3线性无关，那么假设表示方法不唯一，
设β=y1a1+y2a2+y3a3=z1a1+z2a2+z3a3
那么（y1-z1)a1+(y2-z2)a2+(y3-z3)a3=0
又因为（y1,y2,y3)不等于（z1,z2,z3)
所以y1-z1,y2-z2,y3-z3不全为0，那么与a1a2a3线性无关矛盾
充分性得证
有什么问题可以提问～如果有帮助望采纳
假设a1a2a3线性相关，则存在不全是0的x1,x2,x3使得x1a1+x2a2+x3a3=0......(2)
（1）式+（2）式：
β=（u+x1)a1+(v+x2)a2+(w+x3)a3，则β有另一种表示，矛盾
必要性得证
充分性：已知a1a2a3线性无关，那么假设表示方法不唯一，
设β=y1a1+y2a2+y3a3=z1a1+z2a2+z3a3
那么（y1-z1)a1+(y2-z2)a2+(y3-z3)a3=0
又因为（y1,y2,y3)不等于（z1,z2,z3)
所以y1-z1,y2-z2,y3-z3不全为0，那么与a1a2a3线性无关矛盾
充分性得证
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第1个回答 2014-04-19
充分性：设b有两种表示b=x1a1+x2a2+x3a3=y1a1+y2a2+y3a3,则
(x1-y1)a1+(x2-y2)a2+(x3-y3)a3=0‘
因为a1,a2,a3线性无关，所以xi=yi即b的表示法唯一
必要性：反证法
假设a1,a2,a3线性相关，则存在不全为零的k1,k2,k3使k1a1+k2a2+k3a3=0
又设b的唯一表示为b=s1a1+s2a2+s3a3（1）
但b=b+0=(s1a1+s2a2+s3a3)+(k1a1+k2a2+k3a3)=(k1+s1)a1+(k2+s2)a2+(k3+s3)a3（2）
比较(1)(2)因为k1,k2,k3不全为零，所以a1，a2,a3的系数不全相等，与表示唯一性矛盾，
因此a1,a2,a3必线性无关
证毕！
注：该题也可以从向量组的秩考虑b可以由a1,a2,a3唯一表示等价于R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,b)=3
这等价于a1,a2,a3线性无关。本回答被提问者采纳
(x1-y1)a1+(x2-y2)a2+(x3-y3)a3=0‘
因为a1,a2,a3线性无关，所以xi=yi即b的表示法唯一
必要性：反证法
假设a1,a2,a3线性相关，则存在不全为零的k1,k2,k3使k1a1+k2a2+k3a3=0
又设b的唯一表示为b=s1a1+s2a2+s3a3（1）
但b=b+0=(s1a1+s2a2+s3a3)+(k1a1+k2a2+k3a3)=(k1+s1)a1+(k2+s2)a2+(k3+s3)a3（2）
比较(1)(2)因为k1,k2,k3不全为零，所以a1，a2,a3的系数不全相等，与表示唯一性矛盾，
因此a1,a2,a3必线性无关
证毕！
注：该题也可以从向量组的秩考虑b可以由a1,a2,a3唯一表示等价于R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,b)=3
这等价于a1,a2,a3线性无关。本回答被提问者采纳