解的延拓定理证明如下：
延拓定理是一种数学定理，它指出，如果一个函数f(x)在某一点x0处可导，那么在x0处的导数f(x0)等于f(x)在x0处的切线斜率。延拓定理的证明是基于泰勒级数的，它可以用来证明函数的可导性。
延拓定理的公式可以表示为：f(x0)=lim(h-)[f(x0+h)-f(x0)]/h。这里，f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，h是一个极小的正数，f(x0+h)是函数f(x)在x0+h处的值，f(x0)是函数f(x)在x0处的值。
延拓定理的应用非常广泛，它可以用来证明函数的可导性也可以用来求解函数的导数。它还可以用来求解曲线的切线斜率，以及求解曲线的极值点。此外，延拓定理还可以用来求解微分方程，以及求解积分方程。
总之，延拓定理是一种重要的数学定理，它可以用来证明函数的可导性，也可以用来求解函数的导数，以及求解曲线的切线斜率，极值点，微分方程和积分方程。
解的延拓：
不能继续延拓的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。如果最大存在区间包含端点，那么解仍可以按上述方法再延拓，因而最大存在区间一定是开区间，解的延拓定理给出了上述延拓的最终结果。
设f(x，y)在区域D⊂R2上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则对于任意的(x0，y0)∈D，初值问题方程①的解y=y(x)的最大存在区间可能是[x0，+∞)或[x0，b)，式中b是有限数，且当x→b-0时，y=y(x)无界或 (x，y(x))趋于D的边界。向x0的左方延拓是完全类似的。
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