线性代数关于证明r(ab)小于等于min(r(a),r(b))的问题如图所示的这种方法,请问最后一步“另一方面”,是用了什么性质?为什么要特别转置一下?r(btat)小于等于r(at)又是用了哪个性质?乘积的秩小于等于个别不是要证明的题目吗。还请大神给出解答
证明如下:
(1)AB中的行向量是A中行向量的线性组合,同时也是A中行向量的极大无关组的线性组合
(2)如果把AB中的所有行向量与A中的极大无关组写成一个n维向量,那么这个极大无关组也是这个n维向量的极大无关组
(3)AB的极大无关组应该小于或者等于A中行向量的极大无关组所包含的向量数量,而极大无关组中向量的数量就是原向量组的秩
(4)B同理可证,结果就是R(AB)≤min{R(A),R(B)}
变化规律
(1)转置后秩不变
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A),k不等于0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)