求角度几何题

Question

求角度几何题

Answer 1

不知道您是否学过正弦定理？我就假设您学了。
设线段 AB长度为a，线段DC长度为b，线段AD长度为c,线段BC为d
设所求的问号角为x，并且设角ACD 为y
准备就绪，开始列方程：
在三角形ACB中运用正弦定理得到方程：a/sin50=d/sin100（三角形内角和180，角ACD显然是50度）
所以d=a*sin100/sin50
在三角形BCD内有正弦定理：b/sin20=d/sinx
再看三角形ACD,由正弦定理：b/sin40=c/siny
再看三角形ABD,由正线定理：c/sin10=a/sin30
解得c=a*sin10/sin30从而得知b=c*sin40/siny=a*sin10*sin40/(sin30*siny)
把以上都代入方程得到方程b/sin20=d/sinx得到方程1:a*sin10*sin40/(sin30*sin20*siny)=a*sin100/（sin50*sinx）
化简一下得到sin10*sin40/(sin30*sin20*siny)=sin100/（sin50*sinx）；
另一个关于x和y的方程由简单的几何关系得到即：x+y=110
联立两个方程原则上就可以解出x和y了，也就是题目需要求的。
下面具体来解一下：由三角函数的倍角公式知sin100/sin50=2cos50=2sin40
所以sinx=2cos10*siny=sin（y+10）+sin（y-10）
将y=110-x代入上式得到sin（120-x）+sin（100-x）=sinx
继续化简：sin（120-x）+sin（100-x）=sin120cosx-cos120sinx+sin100cosx-cos100sinx=sinx
左右同除以cosx得到关于tanx的一元以此方程解得
tanx=（sin120+sin100）/（1+cos120+cos100）=（sin60+sin100）/（cos60+cos100）
=（sin(80-20)+sin(80+20)）/(cos(80-20)+cos(80+20))=sin80cos20/cos80cos20=tan80
所以x=80，y=30.

Answer 2