三元函数u=f(x,y,z)的泰勒展开级数是什么

Question

如题所述

Answer 1

令G(t)=F(x+t*Δx,y+t*Δy,z+t*Δz)，把G(t)展开成麦克劳林公式，然后取t=1，就得到结果了。

例如G(t)的一阶麦克劳林公式是：

G(t)=G(0)+G'(0)*t（余项不写了），即

F(x+t*Δx,y+t*Δy,z+t*Δz)

=F(x,y,z)+[Fx(x,y,z)Δx+Fy(x,y,z)Δy+Fz(x,y,z)Δz]*t

取t=1，就得到

F(x+Δx,y+Δy,z+Δz)

=F(x,y,z)+[Fx(x,y,z)Δx+Fy(x,y,z)Δy+Fz(x,y,z)Δz]

这就是三元函数的一阶泰勒公式。

几何意义

三重积分就是四维空间的体积。

当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。

当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

Answer 2

　　这就是泰勒展开级数的公式所以你需要对u=f(x,y,z)函数求连续的n阶导数，然后带入上述公式就可以了。

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Answer 3

三元
函数
u=F(x,y,z)的泰勒展开式可以这样求（适用于一切多元函数）：
令G(t)=F(x+t*Δx,y+t*Δy,z+t*Δz)，把G(t)展开成麦克劳林公式，然后取t=1，就得到结果了。
例如G(t)的一阶麦克劳林公式是：
G(t)=G(0)+G'(0)*t（余项不写了），即
F(x+t*Δx,y+t*Δy,z+t*Δz)
=F(x,y,z)+[Fx(x,y,z)Δx+Fy(x,y,z)Δy+Fz(x,y,z)Δz]*t
不写余项的原因是因为G''(t)写起来已经太烦了。
取t=1，就得到
F(x+Δx,y+Δy,z+Δz)
=F(x,y,z)+[Fx(x,y,z)Δx+Fy(x,y,z)Δy+Fz(x,y,z)Δz]
这就是三元函数的一阶泰勒公式。