三角函数和积化差和差化积公式如下：
1、积化和差公式有sinα*cosβ=（1/2）sin（α+β）+sin（α-β）；cosα*sinβ=（1/2）sin（α+β）-sin（α-β）；cosα*cosβ=（1/2）cos（α+β）+cos（α-β）；sinα*sinβ=（1/2）cos（α+β）-cos（α-β）。
2、差化积公式有sinα+sinβ=2sin（α+β）/2cos（α-β）/2；sinα-sinβ=2cos（α+β）/2sin（α-β）/2；cosα+cosβ=2cos（α+β）/2cos（α-β）/2；cosα-cosβ=2sin（α+β）/2sin（α-β）/2。
三角函数的起源
1、三角函数最初是由古希腊数学家Hipparchus和Ptolemy发明的。他们的目的是为了解决天文学中的三角测量问题，例如预测恒星的位置和行星的运动。三角函数中的正弦、余弦和正切函数名称分别源于拉丁语“sinus”、“cosinus”和“tangent”。
2、在古希腊，数学家们使用三角形来研究角度和比例。Hipparchus将三角形的边长与角度联系起来，并使用三角形的边长来定义正弦、余弦和正切函数。他意识到三角形的边长可以表示为正弦、余弦和正切的函数，这为三角函数的发展奠定了基础。
3、在16世纪，三角函数开始被广泛应用于各种数学问题中。三角函数可以用于求解三角形中的角度和边长，也可以用于解决其他更复杂的数学问题，例如解方程和求面积等。三角函数的发展为数学的发展开辟了新的方向，并成为了数学中的重要分支之一。
4、还有许多数学家对三角函数的发展做出了贡献。例如，法国数学家Laplace提出了著名的公式：“asin（x）+bcos（x）=sqrt（a^2+b^2）sin（x+y）”，其中y是一个角度，满足“tany=b/a”。这个公式现在被称为正弦定理或余弦定理，是解三角形中许多问题的重要工具。