二元泰勒公式
用多个变量的一个多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体的估算出误差的大小。
定义：函数 f(x,y)f(x,y) 在含 (x0,y0)(x0,y0) 的某一邻域内连续且有直到 n+1n+1 阶的连续偏导数，(x0+h,y0+k)(x0+h,y0+k) 为此邻域内一点，则有
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h⋅∂∂x+k⋅∂∂y1!f(x0,y0)+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)22!f(x0,y0)+...+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)nn!f(x0,y0)+RnRn=(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)n+1(n+1)!f(x0+θh,y0+θk),0<θ<1f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h⋅∂∂x+k⋅∂∂y1!f(x0,y0)+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)22!f(x0,y0)+...+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)nn!f(x0,y0)+RnRn=(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)n+1(n+1)!f(x0+θh,y0+θk),0<θ<1
类比于一元泰勒公式，每个多项式有两部分构成，一部分是包含偏导数的系数部分，另一部分是 x−x0,y−y0x−x0,y−y0 的幂次项。
上面的定义式不太直观，在这个公式中多了很多交叉的项，如果只写到二阶，则形式如下：
f(x,y)=f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x−x0)+f′y(x0,y0)(y−y0)+f′′xx(x0,y0)2!(x−x0)2+f′′xy(x0,y0)2!2(x−x0)(y−y0)+f′′yy(x0,y0)2!(y−y0)2+Rnf(x,y)=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)(x−x0)+fy′(x0,y0)(y−y0)+fxx″(x0,y0)2!(x−x0)2+fxy″(x0,y0)2!2(x−x0)(y−y0)+fyy″(x0,y0)2!(y−y0)2+Rn
或者是写成下面的形式
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+f′x(x0,y0)h+f′y(x0,y0)k+f′′xx(x0,y0)2!h2+f′′xy(x0,y0)2!2hk+f′′yy(x0,y0)2!k2+Rnf(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)h+fy′(x0,y0)k+fxx″(x0,y0)2!h2+fxy″(x0,y0)2!2hk+fyy″(x0,y0)2!k2+Rn
下面来看下这个一长串的定义式是怎么推导出来的：
我们是利用一元泰勒公式来推导的，引入一元函数：
Φ(t)=f(x0+ht,y0+kt),0≤t≤1Φ(t)=f(x0+ht,y0+kt),0≤t≤1
当 t=1t=1 时，就得到 Φ(1)=f(x0+h,y0+k)Φ(1)=f(x0+h,y0+k)。
对 Φ(t)Φ(t) 求导，有
Φ′(t)=hf′1+kf′2=h∂f∂x+k∂f∂y=(h∂∂x+k∂∂y)fΦ′(t)=hf1′+kf2′=h∂f∂x+k∂f∂y=(h∂∂x+k∂∂y)f
Φ′′(t)=h2f′′11+2hkf′′12+k2f′′22=h2∂2f(∂x)2+2hk∂2f∂x∂y+k2∂2f(∂y)2=(h∂∂x+k∂∂y)2fΦ″(t)=h2f11″+2hkf12″+k2f22″=h2∂2f(∂x)2+2hk∂2f∂x∂y+k2∂2f(∂y)2=(h∂∂x+k∂∂y)2f
Φ′′′(t)=h3f′′′111+3h2kf′′′112+3hk2f′′′122+k3f′′′222=(h∂∂x+k∂∂y)3fΦ‴(t)=h3f111‴+3h2kf112‴+3hk2f122‴+k3f222‴=(h∂∂x+k∂∂y)3f
当 t=0t=0 时，得到
Φ(0)=f(x0,y0)Φ(0)=f(x0,y0)
Φ′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)Φ′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)
Φ′′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)Φ″(0)=(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)
代入
Φ(t)=Φ(0)+Φ′(0)t+Φ′′(0)2t2+Φ′′′(θ)6t3Φ(t)=Φ(0)+Φ′(0)t+Φ″(0)2t2+Φ‴(θ)6t3
得
Φ(t)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅t(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅t2(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅t3Φ(t)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅t+(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅t2(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅t3
所以有：
Φ(1)=f(x0,y0(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅
泰勒公式的使用条件
极限必须都是存在的
泰勒公式的使用条件是极限必须都是存在的。在数学中，泰勒级数是用无限项连加式，也就是级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。