判断微分方程的根，可以根据微分方程的类型和性质来进行。
常系数线性微分方程
对于常系数线性微分方程，可以根据其特征方程的解来判断根的类型。特征方程的解可以是实数根、复数根、或重根。
实数根：如果特征方程的解都是实数，则微分方程的解可以表示为指数函数的形式。
复数根：如果特征方程的解都是复数，则微分方程的解可以表示为指数函数的形式，其中包含虚数项。
重根：如果特征方程的根是重根，则微分方程的解可以表示为指数函数的形式，其中包含对数项。
非线性微分方程
对于非线性微分方程，判断根的类型比较困难，一般需要结合具体问题进行分析。
常见方法
以下是一些常用的判断微分方程根的方法：
特征方程法：对于常系数线性微分方程，可以根据特征方程的解来判断根的类型。
图解法：对于简单的微分方程，可以通过画出其图像来判断根的类型。
数值方法：对于复杂的微分方程，可以通过数值方法来计算根。
例如，对于二阶常系数线性微分方程
y'' + ay' + by = 0其特征方程为
r^2 + ar + b = 0根据特征方程的解，可以判断根的类型。如果判别式b^2 - 4ac > 0，则方程有两个实数解；如果判别式b^2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数解；如果判别式b^2 - 4ac < 0，则方程有两个复数解。
又例如，对于一阶常系数线性微分方程
y' + ay = 0其特征方程为
r + a = 0特征方程的解为r = -a。因此，该微分方程有唯一实数根为-a。
判断方法如下：
二阶微分方程可写成y''+py'+q=Q(n)*e^(rx),其中Q(n)是x的n次多项式.其特征方程为z^2+pz+q=0,特征根为z1,z2.
若二者都不是r,则r不是特征方程的根,在求特解时把特解设为P(n)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n)；
若r=z1且不等于z2,则称r是特征方程的单根,此时特解设为xP(n-1)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-1)；
若r=z1=z2,则称r是特征方程的二重根,特解设为x^2*P(n-2)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-2)。
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
参考资料：微分方程-百度百科
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