康托集合论为什么是错误的理论

Question

如题所述

Answer 1

悖论1：按照朴素集合论的观点，集合中的对象只有它的元素。然而还是按照朴素集合论的观点，集合包含它的子集，也就是说集合的子集也是集合中的对象，所以集合中的对象除了它的元素之外还有它的子集，这就出现了矛盾，形成一个悖论。例如按照朴素集合论的观点，自然数集中的对象只有它的元素（即自然数）。然而还是按照朴素集合论的观点，自然数集包含它的子集，也就是说自然数集的子集也是自然数集中的对象，所以自然数集中的对象除了它的元素之外还有它的子集（如集合{1，2}），这就出现了矛盾，形成一个悖论。

悖论2：有若干个对象A、B、C、……，对象A包含对象a1、a2、……，对象B包含对象b1、b2、……，对象C包含对象c1、c2、……，……。按照朴素集合论的观点，由对象A、B、C、……组成的集合中的对象只有它的元素即A、B、C、……。既然对象A、B、C、……是这一集合中的对象，显然对象a1、a2、……、b1、b2、……、c1、c2、……、……也是这一集合中的对象，所以这一集合中的对象除了它的元素之外还有非元素的对象，这就出现了矛盾，形成一个悖论。

例如按照朴素集合论的观点，由所有的三角形组成的集合中的对象只有它的元素即三角形。然而三角形包含它的边和边上的点等对象，既然三角形是这一集合中的对象，显然三角形的边和边上的点等对象也是这一集合中的对象，所以这一集合中的对象除了它的元素之外还有非元素的对象，这就出现了矛盾，形成一个悖论。

又如按照朴素集合论的观点，由某学校的所有学生组成的集合中的对象只有它的元素即该学校的学生。然而该学校的每一个学生包含他（她）的头、眼睛、耳朵、鼻子、手、脚等对象，既然该学校的每一个学生是这一集合中的对象，显然该学校的每一个学生的头、眼睛、耳朵、鼻子、手、脚等对象也是这一集合中的对象，所以这一集合中的对象除了它的元素之外还有非元素的对象，这就出现了矛盾，形成一个悖论。