S1=1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-...)=1-S1
则S1=1/2
S2=1-2+3-4+5-6+...
2*S2=1-(2-1)+(3-2)-(4-3)+...=1-1+1-1+1-1+...=S1=1/2
则S2=1/4
S=1+2+3+4+...=1-2+3-4+5-6+...+4*(1+2+3+...)=S2+4*S
则S=-1/12
这个是发散级数和，初等数学不要求，高等数学里的数学分析会学到，很多时候因为不是大家通常理解的代数和而被人误认为是错误的。其实这是一种重整化思想。实际上有一种简单的看法就是这个求和是对ζ函数做了解析延拓。
ζ函数由定义ζ(z)＝∑1/(n^z)，Re(z)>1做解析延拓到全平面，可以很明显看出来ζ(-1)＝∑n在某种程度上指代自然数，所以就认定ζ(-1)＝-1/12为自然数求和的值。实际上这种延拓在数学上不科学，因为ζ函数在除Re(z)>1以外的平面时，无穷级数并不收敛为全纯函数，所以也用不了那种求和。
扩展资料：
级数的求和
(summ ation ofseries)
赋予某些发散级数以“和”的法则，按照柯西的定义，收敛级数以其部分和的极限为和，这种和是有限（项的）和的直接推广，可称为柯西和，按照这种定义，发散级数是没有和的，从而只是没有实际意义的数学记号而已。然而数学的发展表明，完全排斥发散级数是不恰当的。例如，函数 1/(1+x2) 在 x=±1 时是有意义的，而在其泰勒展开式
中令x=±1却得到发散级数
，这说明它应该是有“和”的。
再如连续函数的傅里叶级数可能是发散的，但其前 n 个部分和的算术平均当 n→∞ 时却总有确定极限，这说明这些级数是可以有“和”的。在这些情况下，人们需要也可以对某些发散级数的“和"作出合理的解释。于是出现这样一些法则，用它可以确定任意级数有和或者没有和，并在前一种情况下，给出求和的方法，这种法则就称为级数的求和。
这种法则是很多的，如果将某个这种法则称为 M 求和法，而
按 M 求和法是有和的，并可求出和为S，则称为 M 可和的，并记为
。
级数求和主要是针对发散级数提出来的。每一种求和法都能使某些发散级数有和，同时又希望按照它，所有的收敛级数都是可和的，并且所求出的和与其柯西和相等，这样的级数求和方法就称为正则的。级数的正则求和法是收敛性（柯西和）概念的直接推广，在调和分析、通近论等数学学科中有很多应用。
每一种有意义的级数求和法表面上都有很重的主观定义色彩，但在数学内部多半都可找到它的深刻背景，像阿贝尔求和法，源于关于泰勒级数的阿贝尔极限定理；而算术平均求和法，就与傅里叶级数部分和的性态有关。
则S1=1/2
S2=1-2+3-4+5-6+...
2*S2=1-(2-1)+(3-2)-(4-3)+...=1-1+1-1+1-1+...=S1=1/2
则S2=1/4
S=1+2+3+4+...=1-2+3-4+5-6+...+4*(1+2+3+...)=S2+4*S
则S=-1/12
这个是发散级数和，初等数学不要求，高等数学里的数学分析会学到，很多时候因为不是大家通常理解的代数和而被人误认为是错误的。其实这是一种重整化思想。实际上有一种简单的看法就是这个求和是对ζ函数做了解析延拓。ζ函数由定义ζ(z)＝∑1/(n^z)，Re(z)>1做解析延拓到全平面，可以很明显看出来ζ(-1)＝∑n在某种程度上指代自然数，所以就认定ζ(-1)＝-1/12为自然数求和的值。实际上这种延拓在数学上不科学，因为ζ函数在除Re(z)>1以外的平面时，无穷级数并不收敛为全纯函数，所以也用不了那种求和。本回答被网友采纳