导函数不等于零，原函数一定单调吗

Question

如题所述

Answer 1

不一定，要看具体函数，还有函数是否处处可导。
例如y=1/x，其导数为y'=1/x^2，导函数不等于零，但原函数不单调，是分区间单调的（-∞，0）（0，+∞）单调递减。
例如y=e^x，其导数为y'=e^x，导函数不等于零（恒大于零），原函数单调（-∞，+∞）单调递增。
原函数单调的条件是导函数恒大于零或恒小于零.
“不等于零” ≠ “恒大于零 或 恒小于零”

Answer 2

非数学系大学数学中，有导数的区域，函数一定连续，导函数在这个区域内不等于0则恒正或恒负，原函数是严格单调的啊。上面的y=1/x真好笑，在x=0出为无穷间断点，首先就不满足导数存在的前提，所以只能在分区间（-∞，0）或（0，+∞）使用这个定理，而在（-∞，0）和（0，+∞）上都分别满足这个定理。所以导函数存在的前提下，导数“不等于零”=“恒大于零 或 恒小于零”好吧。

Answer 3

不一定。
原函数单调的条件是导函数恒大于零或恒小于零.
“不等于零” ≠ “恒大于零 或 恒小于零”追答

懂了吗？注意是:恒

Answer 4

不一定啊，单调的前提是定义域在同一个区间

Answer 5

【注：背景条件是，原函数在所研究的区间内可导】。
根据字面意思，“导函数不等于零”可理解为“导函数或正、或负、或同时有正有负”；
但事实应该是：“导函数不等于零”＝“导函数要么恒正，要么恒负”。也即“导函数不等于零”→则原函数一定单调。——为什么这样呢？因为“原函数可导”这个条件本身就是很充足的条件。——可以结合费马引理来理解。
用反证法（我不确定我这个方法合不合理，反正结论是没错的）：
已知f(x)可导，且对任意x，有f'(x)≠0。
此时，如果认为f'(x)同时有正有负，那么必有某点的左右导数异号，由费马引理知该点导数为0。
显然，与已知条件矛盾。
因此对于可导的f(x)且其导函数f'(x)≠0时，其导函数f'(x)只能恒正或恒负，也即f(x)必然单调。