n阶矩阵的列秩等于行秩吗？

Question

如题所述

Answer 1

对于n阶矩阵，其列秩与行秩的关系是相等的。这是因为，对于任意的矩阵A，其行秩和列秩都是指其最大线性无关行（或列）的个数。因此，对于一个矩阵，其行秩和列秩是相等的。
因此，对于n阶矩阵，其列秩等于行秩

Answer 2

a的秩。

证明：

用A'表示A的转置，假设AX=0，r(A'A)=r(A)，两边同时乘以A'，可得等式A'AX=0，可得方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。

假设A'AX=0，两边同时乘以X'，可得等式X'A'AX=0，即（AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，注意Y=AX为n维列向量，因此可设Y=(y1,y2,yn)'，则可得Y'Y=y1^2+...+yn^2=0。

因此y1=yn=0，即Y=AX=0，这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解。

因为AX=0和A'AX=0同解，所以可得r(A'A)=r(A)，即A的转置乘以A）的秩=A的秩。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。