泪求一微分方程的解（通解+特解）

Question

题目：利润L是广告支出的函数，且满足dL/dX=b-a(L+x)(a>0,b>0,常数)
当x=0,L(0)=Z,求利润函数L(x)
一遇到复杂的式子就蒙了，只会dy/dx=ay/bx或者ax/by这样的运算，求dy/dx=ay+bx的运算方式！！

Answer 1

dL/dx = b-a(L+x) (a>0,b>0,常数)

dL/dx + aL = -ax+b 【一阶线性微分方程，P=a ,Q=-ax+b ，根据通解公式：】
L = e^∫-adx*{ ∫(-ax+b)*(e^∫adx) dx+C }
= e^(-ax)*{ ∫(-ax+b)*e^(ax) dx+C }
= e^(-ax)*{ 1/a*∫(-ax+b)*de^(ax)+C }
= e^(-ax)*{ 1/a*[(-ax+b)*e^(ax)-∫e^(ax)d(-ax+b)]+C }
= e^(-ax)*{ 1/a*[(-ax+b)*e^(ax)+e^(ax)]+C }
= C*e^(-ax) + [-x+(b+1)/a ]

L(0)= C + (b+1)/a = Z
C = Z - (b+1)/a
∴方程特解为：
L = [Z - (b+1)/a]*e^(-ax) + [-x+(b+1)/a ]