已知函数 f(x)=cosax+1/2x^2-1.-|||-(1)当 a=1 时,求f(x)的单调

Question

如题所述

Answer 1

【分析】
(1)当a=1时,利用导数求f(x)的单调区间；
(2)利用导数研究f(x)的单调性,结合余弦函数的图象与性质即可求解．
【解答】
(1)当a=1时,f(x)=cosx+
2
1

x
2
−1, f
′
(x)=−sinx+x,
令f
′
(x)>0,解得x>sinx,令f
′
(x)<0,解得x<sinx,
所以f(x)在(−∞,sinx)上单调递减,在(sinx,+∞)上单调递增．
(2)f
′
(x)=−asinax+x,
当a>0时,令f
′
(x)>0,解得x>
x
a

sinax,
令f
′
(x)<0,解得x<
x
a

sinax,
所以f(x)在(−∞,
x
a

sinax)上单调递减,在(
x
a

sinax,+∞)上单调递增．
要使f(x)在R上有两个零点,结合f(0)=0,
则只需使f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点,
因为当x∈(−∞,0)时,$f(x) = \cos ax + \frac{1}{2}x^{2} - 1
= \cos{ax + \frac{1}{2}(ax)^{2} - 1 + \frac{1}{2}x^{2}(1 - a^{2})}$, 由$(1)$可知,函数$y = \cos ax + \frac{1}{2}(ax)^{2} - 1$在$( - \infty,0)$上单调递减, 函数$y = \frac{1}{2}x^{2}(1 - a^{2})$在$( - \infty,0)$上单调递增, 所以只需使函数$y = \cos ax + \frac{1}{2}(ax)^{2} - 1$在$( - \infty,0)$上有且只有一个零点, 由$\cos ax + \frac{1}{2}(ax)^{2} - 1 = 0$,得$\cos ax = 1 - \frac{1}{2}(ax)^{2}$, 由$y = \cos ax与y = 1 - \frac{1}{2}(ax)^{2}$的图象可知,当且仅当$\frac{a\pi}{2} < 2$,即$a < \frac{4}{\pi}$时满足要求． 综上,实数$a$的取值范围是$(0,\frac{4}{\pi})$．