😳问题 : ∫(0->π) [ 1- (sinθ)^3] dθ
👉定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
∑(i:1->n) f(ξi)△xi
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分
👉要计算定积分， 一些不定积分的公式
∫ du = u+C
∫ u^n du = [1/(n+1)]u^(n+1)+C
∫ cosu du = sinu + C
∫ sinu du = -cosu + C
👉一些不定积分的例子
『例子一』
∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C
『例子二』
∫ cos2x dx
= (1/2)∫ cos2x d2x
=(1/2)sin2x + C
『例子三』
∫ sin3x dx
= (1/3)∫ sin3x d3x
=-(1/3)cos3x + C
😳: 回答
∫(0->π) [ 1- (sinθ)^3] dθ
分开定积分
=∫(0->π) dθ -∫(0->π) (sinθ)^3 dθ
利用 ∫ du = u+C
=[θ]|(0->π) -∫(0->π) (sinθ)^3 dθ
代入定积分上下限
=π -∫(0->π) (sinθ)^3 dθ
利用 dcosθ =-sinθ dθ
=π +∫(0->π) (sinθ)^2 dcosθ
利用 1-(cosθ)^2=(sinθ)^2
=π +∫(0->π) [1-(cosθ)^2] dcosθ
=π + [cosθ-(1/3)(cosθ)^3]|(0->π)
代入定积分上下限
=π + { [-1+(1/3)] -[1-1/3)] }
=π -4/3
😄: 结果： ∫(0->π) [ 1- (sinθ)^3] dθ=π -4/3