已知：△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、ED的中点．求证：MN垂直平分DE

Question

已知：△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、ED的中点．求证：MN垂直平分DE．

Answer 1

证明：连接EM，DM，如图所示：

∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在Rt△BEC中，M为斜边BC的中点，
∴EM=

1

2

BC，
同理在Rt△BDC中，M为斜边BC的中点，可得DM=

1

2

BC，
∴EM=DM，
∴M在线段ED的垂直平分线上，
又N为ED的中点，
∴N也在线段ED的垂直平分线上，
∴MN垂直平分ED．