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已知:△ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN.
(1)在图1中证明MN垂直平分ED;
(2)若∠EBD=∠DCE=45°(如图2),判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论.
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推荐答案 2013-07-03
1、证明:连接EM、EN、DM、DN
∵BD⊥AC
∴∠BDA=∠BDC=90
∵M是AF的中点、N是BC的中点
∴DM=AF/2、DN=BC/2
同理可证:EM=AF/2、EN=BC/2
∴DM=EM、DN=EN
∵MN=MN
∴△DMN≌△EMN (SSS)
∴∠DMN=∠EMN
∴MN垂直平分ED (三线合一)
2、正方形MEND
证明:
∵∠DCE=45
∴等腰RT△DCF
∴CD=FD
∵∠EBD=45
∴等腰RT△ABD
∴AD=BD,∠BAC=45
∴△ADF≌△BDC (SAS)
∴AF=BC
∴DM=DN
∴DM=EM=DN=EN
又∵∠BAC=45
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=135
∵N是BC的中点
∴BN=EN、CN=DN
∴∠BEN=∠ABC、∠CDN=∠ACB
∴∠BNE=180-2∠ABC、∠CND=180-2∠ACB
∴∠DNE=180-(∠BNE+∠CND)=180-[360-2(∠ABC+∠ACB)]=180-(360-270)=90
∴正方形MEND
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