如何求解微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 y''=y'+x 的通解
解：齐次方程y''-y'=0的特征方程r²-r=r(r-1)=0的根 r₁=0；r₂=1.
因此齐次方程的通解为 y=c₁+c₂e^x.
设方程 y''-y'=x的特解为 y*=ax²+bx
【此地注意特征方程的根 r₂=1与x的指数 1 相等，且原方程缺 y 的一次项】
y*'=2ax+b；y*''=2a；代入原式得：
2a-2ax-b=-2ax+2a-b=x
故 -2a=1，a=-1/2；2a-b=-1-b=0，∴b=-1;
于是得特解 y*=-(1/2)x²-x.
故原方程的通解为 y=c₁+c₂e^x-(1/2)x²-x.