为什么有极限就一定有界？有界不一定有极限？

Question

如题所述

Answer 1

因为你把这两个的定义弄混了。
简单来说就是:
极限存在则唯一呀/*因为他无限逼近某个数，很多时候你可以睁一只眼闭一只眼的把得无穷大也看成一个数…方便理解，哈哈，但是如果你求出的极限是无穷大的时候极限不存在，这个要注意！！！因为无穷大他毕竟不是一个数*/，
有界不一定唯一，比如cosx的x趋向于无穷大时，一会1一会0一会-1的，这时候他就是在[-1,1]有界而没有极限；但是x趋向于0的时候边界1就是他的极限了呀。
有界有可能是花心大萝卜，极限是个专一的人但是想追却永远追不到；一个有可能是个可恨的人，一个是必定可怜的人，哈哈哈哈哈
纯手打的，不容易呀(,,•́ . •̀,,)理解了就给个赞吧

Answer 2

1、有极限就一定有界
回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则
|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{
|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|
}
则我们会发现，所有的
|xn|<M，（因为M=max{
|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|
}，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的
|xn|
均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
2、有界不一定有极限
比如：f(x)=sinx,在R上有界，但是x趋近于无穷是没有极限。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
扩展资料
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在
点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在
点导数的定义，是函数值的增量
与自变量的增量
之比
，当
时的极限。
（3）函数在
点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列
的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中
为，任意大于
的实数当
时的极限，等等。

Answer 3

如何证明有极限就一定有界，高数课本上写的很清楚了

而有界并不一定有极限，我跟你举个反例：
例如f(x)=sin(1/x)

这个函数就是有界的，你自己想想，当x趋于0时，f(x)极限是多少？
是不是根本就不存在呢？本回答被网友采纳

Answer 4

比如f(x)=sinx,在R上有界，但是x趋近于无穷是没有极限；如果f(x)有界，则在定义域内存在M>0，使得lfxl<=M,而当limfx=A时，lfxl会小于某个数，从而有界