怎样用导数计算不等式？

Question

如题所述

Answer 1

使用导数来计算不等式的一种方法是通过求导进行分析。对于给定的不等式，我们可以通过求导并使用相关的数学规则来得到更多的信息。
下面是使用导数计算不等式的一般步骤：
第1步：对不等式两边同时求导。
第2步：化简导数表达式，找出函数在哪些点上增加或减少。
第3步：根据导数的符号，确定函数在不同区间上的变化趋势。
第4步：将区间上的导数与不等式符号结合起来，确定原始不等式的解集。
需要注意的是，通过求导计算不等式在某个点上是否成立只能得到一个特定的点的信息。要确定整个不等式的解集，还需要进一步的分析和推理。
例如，如果需要计算不等式f(x) > 0的解集，可以按照上述步骤进行求解。求导后，我们找到了函数f(x)的增减性质。然后，我们分析函数的增减区间，根据不等式的性质确定原始不等式的解集。
需要注意的是，使用导数计算不等式需要具备一定的数学知识和技巧。此外，有些不等式可能无法通过导数直接计算得到解集，而需要结合其他数学工具进行分析。因此，在应用导数计算不等式时，要小心检查结果的可行性和正确性。

Answer 2

计算如下：

由导数的定义有

g'(0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/x=lim(x-->0)[g(x)-f'(0)]/x

又因为当x不等于0时，有g(x)=f(x)/x，所以

g'(0)=lim(x-->0)[f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2

因为该式的极限为0/0型，所以由罗必达法则(即所求极限等于分母的导数除以分子的导数）有

g'(0）=lim(x-->0)[f'(x)-f'(0)]/2x,

又因为该式的极限是0/0型，所以再次应用罗必达法则有

g'(0)=lim(x-->0)f''(x)/2=f''(0)/2

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。