奇函数的导数是偶函数吗？

Question

如题所述

Answer 1

是的，奇函数的导数是偶函数，而偶函数的导数是奇函数。
奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，即关于原点对称的函数。而偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，即关于y轴对称的函数。
对于奇函数，可以使用导数的定义来证明其导数是偶函数。令f(x)为奇函数，则根据导数的定义有：
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
现将x+h替换为-x并移项，得到：
f'(x) = lim(h→0) [-f(x-h) + f(x)] / h
由于-f(x-h) = f(-(x-h)) = f(-(x+h)) = -f(x+h)，即奇函数的性质，也即
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h = lim(h→0) [-f(x-h) + f(x)] / h = -f'(x)
所以奇函数的导数是偶函数。
同理，对于偶函数，也可以使用导数的定义来证明其导数是奇函数。
综上所述，奇函数的导数是偶函数，而偶函数的导数是奇函数