如图③，抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1.0)，交y轴于点E(0，-3). 点C是点A关于点B的对称点

Question

如图③，抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1.0)，交y轴于点E(0，-3). 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C，交y轴于点D. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值； (3)在直线l上取点M，在抛物线上取点N，便以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

Answer 1

解：（1）设抛物线的函数表达式y=a（x-1）(x+3)，     ∵抛物线与y轴交于点E(0,-3),将该点坐标代人上式，得：a=1， ∴所求函数表达式y=(x-1)(x+3)，即 y=x 2 + 2x- 3; (2)∵点C是点A关于点B的对称点，点A(-3，0)，点B(1，0)，     ∴点C的坐标是C(5，0).   将点C的坐标是C(5，0)代入y=-x+m，得m=5     ∴直线CD的函数表达式为y=-x十5， 设K点的坐标为( t, 0),则H点的坐标为.(t，-t+5)，G点的坐标为 (t，t 2 +2t-3).      ∵点K为线段AB上一动点. ∴-3≤t≤1 ∴HG= (-t+ 5)-(t 2 + 2t-3)=-t 2 -3t+8=-（t+ ） 2 + ∵-3≤- ≤1，∴当t=- 时，线段HG长度有最大值 (3)∵点F是线段BC的中点，点B(1，0)，点C(5，0)， ∴点F的坐标为F(3，0). ∵直线l过点F且与y轴平行， ∴直线l的函数表达式为x=3 ∵点M在直线l上，点N在抛物线上， ∴设点M的坐标为M(3，m). 点N的坐标为N(n,n 2 +2n-3) ∵点A（-3,0），点C（5,0）， ∴AC=8；  ①若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边形的边， 则须MN//AC，且MN=AC=8 当点N在点M的左侧时，MN=3-n， ∴3-n=8，解得：n=-5， ∴N点的坐标为N(-5，12). 当点N在点M的左侧时，MN=n-3 ∴n-3=8，解得：n= 11， ∴N点的坐标为，N(11，140). ②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线， 由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称， 取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为P(-1，0). 过点P作NP⊥x釉，交抛物线于点N 将 x=-1代入y=x 2 +2x-3，得：y=-4， 过点N，B作直线NB交直线l于点M 在△BPN和△BFM中 ∵ ∴△BPN≌△BFM， ∴NB = MB，     ∴四边形ANCM为平行四边形， ∴坐标为(-1，-4)的点N符合条件， ∴当点N的坐标为(-5，12)，(11，140)，(1，4)时，以点 A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形。