矩阵的特征值不同，则特征值所对应的特征向量也不同对吗？

Question

如题所述

Answer 1

没错，对于同一个矩阵，特征值不同，其特征向量也必然不同

定义：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式

AX=λX 成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．

证明：反证法，
假如有两个特征值，使得
AX=λ1*X;
AX=λ2*X;
两式相减 (λ1-λ2)X=0;
由于特征向量X不是0向量，所以λ1-λ2=0
也就是λ1=λ2，这与λ1不等于λ2矛盾
所以，对于同一个矩阵，特征值不同，其特征向量也必然不同

Answer 2

这个可以用反正法，设两个不同特征值对应相同的特征向量a1,a2;
有
Aa1=t*a1;
Aa1=k*a2;
两式相减 (k-t)a1=0;
由于特征向量不是0向量
所以只有 k=t;这与特征值不同矛盾，所以命题不成立本回答被提问者和网友采纳