运用泰勒公式时不是需要求导数嘛！那么面对一个函数，比如f(x)=ln(ax+b)，他的泰勒公式只需

Question

运用泰勒公式时不是需要求导数嘛！那么面对一个函数，比如f(x)=ln(ax+b)，他的泰勒公式只需算到二阶导数，为什么只需要算到二阶导数。。。算到几阶导数怎么看

Answer 1

　　求函数的泰勒公式时按定义是需要求导数的，至于需要求到几阶导数就要看问题的要求的是什么余项。比如要求得是 n 阶泰勒公式，如果要带拉格朗日余项则需要用到 n+1 阶导数，如果要带皮亚诺余项则只需要用到 n 阶导数而已。追问

我们书上的泰勒公式就这么多，那我的问题可以回答了吧？

追答

这是带有拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式，你看到余项中用的就是 n+1 阶导数。

追问

ln(ax+1)的泰勒展开为什么只用到二阶导数？

追答

没的事，该函数可以展开到 n (>2) 项的，这就需要 n 阶导数。

追问

不明白。。。

追答

　　实际上，
　　　　ln(ax+1) = ∑(k=0~n)[(-1)^k][(ax)^(k+1)]/(k+1) + Rn(x)，
怎么会只用到二阶导数？

追问

我看一到例题时他只用到二阶导数。。。

追答

那就是只要求展开到 n=2 项。

追问

他没要求啊！过程就是这样，一字不漏

追答

　　这是利用泰勒公式求极限的问题，根据问题的需要来决定展开到第几项，多展开几项也可以，只不过是多余的。你问题没叙述清楚，让人白费了多少口舌。

追问

为什么只用展开这几项？不用多展开

追答

　　多展开几项也可以，只不过是多余的。因为多展开几项，后面的项不外乎
　　　　x^3，x^4，……
都含在 o(x^2) 中了。另外，你手写的 “原式” 中少了 o(x^2)，这个是需要下式
　　　　o(x^2)/(x^2)
的极限来消化的。

追问

再详细点，还是不太明白为什么只用二阶

追答

展开到二次方项，你就能算出结果了，所以没必要多费功夫多写几项，就这么简单。

追问

怎么知道只需要二次方就能算出结果？

追答

一阶一阶试的，点到为止。
读数学书的时候，要随带一支笔一张纸，动手试试推导过程，试出来了你也就读懂了，这是学生应该做的。

Answer 2

这得具体问题具体分析，比如求分式极限时，通常会把分子展成比分母高一次的泰勒公式，也就是带上一个皮亚诺余项。泰勒公式的灵活应用需要你自己去把握，多做些题吧。追问

那我们书上这个是属于那个？