由于A与B为n阶
相似矩阵,因此存在
可逆矩阵P,满足B=P
-1AP
∴①选项A.由于E-B=P
-1(E-A)P,即矩阵E-B可以通过矩阵E-A施行
初等变换得到,因此r(E-A)=r(E-B),故A正确;
②选项B.假如矩阵B可以对角化,即存在可逆矩阵Q,使得Q
-1BQ=∧,其中∧为对角阵,则
存在可逆矩阵PQ,使得(PQ)
-1A(PQ)=∧,即A也可以对角化
同理,若A可以对角化,则B也可以对角化
但若B不可以对角化,则A也不可以对角化
故B正确;
③选项C.由于|2E+B|=|P
-1(2E+A)P|=|P
-1|?|2E+A|?|P|=|2E+A|,故C正确;
④选项D.|B-λE|=|P
-1AP-λP
-1P|=|P
-1|?|A-λE|?|P|=|A-λE|
即A与B具有相同的
特征多项式,从而有相同的
特征值但是,它们不一定有相同的
特征向量(如果A=B,它们具有相同的特征向量)
故D错误
故选:D