求n阶矩阵的逆矩阵，该矩阵主对角线上全为0,其余全为1

Question

答案是 1/（n-1）乘上一个对角线上全是 2-n 其余全为1 的n阶矩阵 我不知道步骤怎么求

Answer 1

利用矩阵乘法性质，直接猜想。
设原矩阵为A，其逆矩阵为B。则BA的第一行第一列的数为1，而这个数是B的第一行的元素乘A的第一列的对应元素后再加起来的和。由于A对角线上全为0,其余全为1，故这个和就是B第一行除第一列上的元素外其余元素之和。再者，BA第一行的其它元素都为0。考虑BA第一行的i，j列上的元素(i,j>1)。第i列上的元素是B的第一行除第i列上的元素外其余元素之和，第j列上的元素是B的第一行除第j列上的元素外其余元素之和，但BA第一行的i，j列上的元素都为0，这表明B第一行第i列上的元素跟第j列上的元素相等。这就知道B第一行除第一列上的元素外其余都为1/(n-1)。对B的其他行也作类似讨论即可得：B除对角元外其余元皆为1/(n-1)。容易用方程求出对角元皆为(2-n)/(n-1)。故B为1/（n-1）乘上一个对角线上全是 2-n 其余全为1 的n阶矩阵。