地震波的运动学特征

Question

如题所述

Answer 1

地震勘探对波动的研究不仅考虑动力学特征，而且更多地利用波传播时间和空间距离之间的关系，确定地下地质构造，即所谓地震波的运动学特征。下面介绍几个有关运动学方面的著名原理。

1.3.4.1 惠更斯-菲

尔原理

惠更斯(Huygens)于1690年首先提出这个原理，其要点是：任意时刻波前面上的每一个点都可以看作是一个新的点源，由它产生二次扰动，形成元波前，而以后(下一个时刻的)新波前的位置可以认为是该时刻各元波前的包络，如图1-5所示。惠更斯原理告诉我们，可以从已知波前求出以后各时间的波前位置。该原理虽给出了地震波传播的空间几何位置，但没有涉及到波到达该位置的物理状态。

图1-5 惠更斯原理示意图

菲

尔(Fresnel)补充了惠更斯原理的不足，他认为，由波前面各点所形成的新扰动(二次扰动)都可以传播到空间任一点M，形成互相干涉的叠加振动。该叠加扰动就是M点的总扰动，这就使得惠更斯原理有了明确的物理意义，故称为惠更斯-菲

尔原理。

1.3.4.2 绕射积分理论——克希霍夫积分公式

惠更斯-菲

尔从理论上描述了波的传播，但没有解决具体如何计算某一点的波场问题。1883年，德国学者克希霍夫(Kirchoff)在惠更斯-菲

尔原理的基础上，认为波前面上任一个新点源发出的元波是一种广义的绕射子波，在空间任意一点的波场就是所有绕射子波的积分和。他从波动方程出发经严格的数学证明，得出了可适应普遍条件的、能精确描述M(x，y，z)点波场的绕射积分公式——克希霍夫积分公式：

地震勘探原理、方法及解释

当闭区域W内无源时(或震源已作用结束)，曲面S上的二次扰动引起M点扰动的积分和为：

地震勘探原理、方法及解释

以上两式中Φ为震源函数，[ ]称为延迟位，n是S面的外法线，r为S面任一点至M点的连线。

已知(

)时刻S面上的波场[φ]、[

]、[

]及距离r，即可由式(1.3-36)计算，得到t时刻M(x，y，z)点的波场值。

1.3.4.3 费马原理及波的射线

费马(Fermat)原理阐明，波沿着垂直波前面的路径传播时间最短。这个路径就是波场的射线。费马原理说明波沿射线传播的旅行时比其他任何路径传播的旅行时都小，这就是费马的最小时间原理。

费马原理纯粹从空间上描述了波的传播问题，即波是沿射线传播的。从能量的观点来看，波沿一条射线传播这样一种观念与上述惠更斯-菲

夫原理，尤其是绕射积分理论是否有矛盾?实际上，费马原理是从运动学的规律描述波的传播，我们称这种理论为射线理论。而绕射积分理论是从动力学的规律描述波的传播，我们称这种理论为波动理论。射线理论仅是波动理论的一种近似表示，二者既有统一性，又有所差别。图1-6说明了二者的一致与差别。在图1-6中，设S面是由点源M₀发出的任意时刻的圆波前面位置，其半径为r₀，波前面上的任意小面元用ds表示，M点是球面S外的一点，它至ds的距离为r，用θ表示ds的外法线n与r的夹角。

图1-6 倾斜因子示意图

如果由M₀点发出之球面简谐波其振幅为A，圆频率为ω，S面上ds处的二次波动为

地震勘探原理、方法及解释

式中：k=

，并略去了周期因子e^iωt。

根据惠更斯-菲

尔原理，则S面上所有ds对M点的扰动叠加为

地震勘探原理、方法及解释

式中

地震勘探原理、方法及解释

称为倾斜因子，式i表示相位超前

。下面分别讨论S面上a、b、c三点的ds对M点扰动的贡献大小：

1)在a点，n=r_a，θ=0，故cosθ=1，

地震勘探原理、方法及解释

2)在b点，n⊥r_b，θ=90°，故cosθ=0，

地震勘探原理、方法及解释

3)在c点，n=-r_c，θ=180°，故cosθ=-1，

k(θ)=0，φ_c(M，t)=0

由以上3点对M点的扰动贡献可见，a点对M点的贡献最大，向两边逐渐减小，在b点其贡献仅有a点的一半，到达c点时，贡献减为零。因此，可以说S面上的二次扰动对M点扰动的能量贡献主要集中在a点附近的菲

尔带内，而菲

尔带中心点a到M点的连线正好是震源M₀到M点的射线。所以波传播的主要能量集中在射线方向或者集中在射线附近。由此可见，射线理论是波动理论的一种近似，而且波的动力学和运动学是趋于一致的。

1.3.4.4 时间场和视速度定理

1.3.4.4.1 时间场的概念

由费马原理知，波是沿射线传播的，射线与波前成正交关系，因此，也可以认为波前面在空间向前传播，波前的传播时间t可看作空间坐标(x，y，z)的函数，即：

t=t(x，y，z) (1.3-40)

根据这一函数关系，若已知空间任一点的坐标，就可确定波到达任一点的时间，因而也就确定了波至时间的空间分布，这种波至时间的空间分布被定义为时间场，而确定这个场的函数t(x，y，z)则称为时间场函数。

时间场是标量场，在时间场中，同一波前面的时间相同，称为等时面，其方程为：

M(x，y，z)=t_i (1.3-41)

M(x，y，z)是等时面上的点，显然不同时刻在介质中传播的波前面位置应同该时刻的等时面重合。如图1-7、图1-8，在均匀介质中由点源激发的球面波等时面是一族同心球面，而平面波的等时面则是一列平行的平面。

在时间场中，由于等时面与射线正交，所以时间场的梯度方向就是射线方向。假定波在某一时刻t₁位于Q₁位置，经过Δt时间后于t₂=t₁+Δt时刻到达Q₂位置，Q₁至Q₂之间垂直距离为ΔS，波传播速度为V(x，y，z)，则按梯度的定义：

地震勘探原理、方法及解释

τ称为时间场变化率，也称为慢度。进一步对式(1.3-42)求平方可得射线方程式为：

地震勘探原理、方法及解释

该式描述了在射线理论近似的条件下，对速度分布为V(x，y，z)的介质中传播的任意体波的时间场，它是几何地震学的基本方程。

图1-7 球面波等时面示意图

图1-8 平面波等时面示意图

1.3.4.4.2 视速度定理

由射线理论知，波沿射线在传播。如果在射线方向观测波传播的速度，则该速度为真速度。如图1-9所示，ΔS=

在Δt时间沿射线传播的距离，则真速度V为：

地震勘探原理、方法及解释

在地震勘探中，很难做到沿射线观测真速度，假如在水平面S及P′两点之间观测速度，由于P及P′均在Q₂等时面上，对观测者来说，好像波用V^∗速度经Δt时间从S点传播到P′点，该速度V^∗称为视速度

地震勘探原理、方法及解释

由于

ΔS=ΔS′cose或ΔS′=

则

地震勘探原理、方法及解释

该式建立了真速度和视速度之间的关系，称为视速度定理。

图1-9 视速度定义示意图

视速度定理说明，当射线与水平面的夹角e=0时(相当波沿地表传播)，V^∗=V，此时视速度等于真速度。当e=90°时(相当射线垂直地面)，V^∗=∞，这时波同时到达两观测点，好像波以无穷大速度在传播一样，当0＜e＜90°时，视速度总是大于真速度。