函数连续的证明方法：1、证明函数在定义域内的每一点都连续；2、确定函数在定义域的端点处连续；3、验证函数在定义域的端点处左连续和右连续；4、考虑特殊情况；5、综合以上四点。
1、证明函数在定义域内的每一点都连续：
首先，确保函数在定义域内的所有点上都满足极限的等价条件。这个条件可以表述为：对于定义域内的任意一点x0，都有lim(x->x0)f(x)=f(x0)。也就是说，当x接近x0时，f(x)的值应该接近f(x0)。
2、确定函数在定义域的端点处连续：
除了定义域内的点外，还需要检查定义域的端点处是否连续。这是因为有些函数在定义域的端点处可能不连续。例如，考虑函数f(x)={2x,x≥00,x<0，该函数在x=0处不连续。因此，在证明连续性时，需要单独考虑定义域的端点。
3、验证函数在定义域的端点处左连续和右连续：
对于定义域的每一个端点，需要验证函数在该端点处的左连续性和右连续性。左连续性是指在端点的左边，函数值趋向于端点的值；右连续性是指在端点的右边，函数值趋向于端点的值。如果函数在定义域的每一个端点处都左连续且右连续，那么函数在该端点处连续。
4、考虑特殊情况：
有些函数在定义域内的一些特殊点上可能不连续。例如，有些函数在某一点处跳跃间断，有些函数在某一点处垂直间断。这些特殊情况需要单独考虑，以确定函数在该点处是否连续。
5、综合以上四点：
综上所述，要证明一个函数连续，需要综合以上四点进行考虑。首先，要确保函数在定义域内的每一点都连续；其次，要确定函数在定义域的端点处连续；
第三，要验证函数在定义域的每一个端点处都左连续且右连续；最后，要考虑特殊情况，以确定函数在这些特殊点上是否连续。只有当这些条件都满足时，才能证明该函数是连续函数。
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