请高手解释 高等数学 平面的截距式方程例题

Question

原题：设一平面既不通过原点，也不平行于任何坐标轴，则该平面必与各坐标轴相交，设其交点分别为A(a 0 0), B(0 b 0),C(0 0 c)，（其中abc≠0，a b c分别称为平面在x轴y轴z轴上的截距），求此平面的方程。
设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0 （1）
由于点A B C在此平面上，必满足方程，代入得
Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0
解得A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c,代入方程（1）得
-D/A x-D/b y-D/c z+D=0
整理得 x/a+y/b+z/c=1
上式称为平面的截距式方程，根据方程，容易画出平面图形。

请问：1、方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C不应该表示平面法向量的坐标吗？还是表示三个交点？三个交点与xyx相乘是什么意思？
2、例题说“由于点A B C在此平面上，必满足方程，代入得Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0”是依据什么得来的?

Answer 1

方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C就是法向量坐标的意义，但那3个交点都在此平面上，所以那3个点的坐标(x y z值)都符合这个方程，每个点的坐标代入这个方程(是取代x，y，z，而不是取代A B C)一次，就可以得到3个方程了，你将A(a 0 0), B(0 b 0),C(0 0 c)，都代一次试试，不就是Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0这3个了。三个交点A B C与一般方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C不是同一个东西，三个交点的A B C每一个都代表一组坐标值，表示点，而方程中的A B C是单个坐标值，就是法向量的x y z。 要是三个交点叫D E F就不会混淆了。。哈哈~

Answer 2

1.AX+BY+CZ+D=0是平面的一般方程.
(详见：http://baike.baidu.com/view/2770031.htm)

其中n=(A,B,C)是平面的法向量.
设P(x0,y0,z0)为平面上某固定点，M(X,Y,Z)是平面上任一点，则
则PM=(X-x0,Y-y0,Z-z0).
由法向量定义知，向量PM 与 n垂直.
则 PM（点乘）n=0
即 A(X-x0)+B(Y-y0)+C(Z-z0)=0.
即 AX+BY+CZ+D=0,(D=-Ax0-By0-Cz0).
由M的任意性知,上式即为平面的方程.

因此,AX+BY+CZ+D=0,可看成两个向量点乘后，化简的结果.

2.点A(a,0,0)在平面AX+BY+CZ+D=0上.
即把A(a,0,0)代入AX+BY+CZ+D=0,得
Aa+D=0.
点B,C同理.

这个最好问一下老师吧。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/2770031.htm

Answer 3

在平面的一般式Ax+By+Cz+D=0中，A、B、C是平面法向量的坐标，为了不混淆
在：“设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0 （1）”这一计算中

可设 Ex+Fy+Gz+H=0 (1)
同样由A(a 0 0), B(0 b 0),C(0 0 c)，在此平面上，必满足方程，代入(1)得
a*E+0*F+0*G+H=0,0*E+b*F+0*G+H=0,0*E+0*F+c*G+H=0,
则解得E=-H/a,F=-H/b,G=-H/c,代入方程（1）
得 -H/ax-H/b y-H/cz+H=0 (2)
把（2）整理就可以得到截距式的方程x/a+y/b+z/c=1了。

Answer 4

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