已知f(x)的定义在(0，+∞）上的增函数且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.（1）求证：f(8) =3 (2) 求不等式f(x)

Question

已知f(x)的定义在(0，+∞）上的增函数且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1。 （1）求证：f(8)=3 (2) 求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集

Answer 1

设x=y=1 则f(1*1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=1
而f(8)=f(4*2)=f(4)+f(2)=f(2*2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3

由f(x)-f(x-2)>3
得f(x)>3+f(x-2)
f(x)>f(8)+f(x-2)=f(8*(x-2))
又因为f(x)是定义在(0，+∞）上的增函数
所以x>8*(x-2) x>0 x-2>0
2<x<16/7

Answer 2

正确的有：①定义域为[-b,b] ②是奇函数

由a<=x<=b,a<=-x<=b,0<b<-a可以解出-b<=x<=b,所以①正确；

F(-x)=[f(-x)]^2-[f(x)]^2=-F(x),所以 ②正确；

对于其他两个就是要举出反例.

对于③，如f(x)=x+1在[-2,1]是增函数，且0<1<-(-2)，满足条件

但计算得F(x)=4x,在F(x)的定义域[-1,1]的最小值是-4.而不是0，所以③不对；

对于④，如f(x)=-1/(x+3),在区间[-2,1]上是增函数，且0<1<-(-2)，满足条件

但计算得F(x)=-12x/(x²-9)²,在F(x)的定义域[-1,1]上不是增函数,

如当x=-1时，函数值F(-1)=3/2,而当x=0是F(0)=0<F(-1),所以不是增函数

综上正确的有：①定义域为[-b,b] ②是奇函数

Answer 3

(1)f(xy)=f(X)+f(y) ,f(2)=1 f(8)=f(2*2*2)=f(2)+f(2)+f(2)=3
(2)x>0 x-2>0 x>2 f(x)-f(x-2)>3 f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
x>8x-16 x<7分子16 2< x<7分子16