矩阵A的M次多项式

Question

具体是怎么求解？尤其是哪个对角的

Answer 1

法一：矩阵对角化
A=P^(-1)BP,其中B为对角阵，P为可逆阵。
然后A的多项式就化简为对角阵B的多项式，而对角阵的M次方就是将其对角线元素变成M次方就行了。

法一是最常用的方法，但是有局限性。前提是A必须可以对角化，但如果题中给出的矩阵无法对角化，就不能用法一。见法二。

法二：Hamilton Cayley定理
记所求的矩阵多项式为f(A).
将f(x)除以A的特征多项式C(x),得到商q(x)和余式g(x)。
f(x)=q(x)*C(x)+g(x)
余式g(x)的次数必定不高（例如3阶矩阵则余式只能是二次多项式ax^2+bx+c）
代入矩阵A，由于C(A)=0,所以
f(A)=aA^2+bA+c
我们只需求出待定系数a,b,c即可。
用A的3个特征值x1,x2,x3代入：
f(x1)=ax1^2+bx1+c
f(x2)=ax2^2+bx2+c
f(x3)=ax3^2+bx3+c
解出a,b,c
那么f(A)=aA^2+bA+c

法二是通用解法，也能处理矩阵可以对角化的情形