矩阵A的M次多项式具体是怎么求解

Question

如题所述

Answer 1

法一：矩阵对角化
a=p^(-1)bp,其中b为对角阵，p为可逆阵。
然后a的多项式就化简为对角阵b的多项式，而对角阵的m次方就是将其对角线元素变成m次方就行了。
法一是最常用的方法，但是有局限性。前提是a必须可以对角化，但如果题中给出的矩阵无法对角化，就不能用法一。见法二。
法二：hamilton
cayley定理
记所求的矩阵多项式为f(a).
将f(x)除以a的特征多项式c(x),得到商q(x)和余式g(x)。
f(x)=q(x)*c(x)+g(x)
余式g(x)的次数必定不高（例如3阶矩阵则余式只能是二次多项式ax^2+bx+c）
代入矩阵a，由于c(a)=0,所以
f(a)=aa^2+ba+c
我们只需求出待定系数a,b,c即可。
用a的3个特征值x1,x2,x3代入：
f(x1)=ax1^2+bx1+c
f(x2)=ax2^2+bx2+c
f(x3)=ax3^2+bx3+c
解出a,b,c
那么f(a)=aa^2+ba+c
法二是通用解法，也能处理矩阵可以对角化的情形

Answer 2

一般是先求特征值，和特征向量，将矩阵对角化，得到
P^(-1)AP=D
然后A=PDP^(-1)
A^n=(PDP^(-1))^n=PD^nP^(-1)本回答被网友采纳