初二上 数学证明题

Question

用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，将一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，然后将三角板绕点A旋转。

（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，（如图一）通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？理由。

（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图二），（1）中的结论还成立吗？理由。

Answer 1

※你的图片我添加了辅助字母和数字，

请点击我的图片放大查看。

(1)解:通过测量BE、CF可知:BE=CF

理由:如图所示，

∵等边△ABC和△ACD全等

∴AB=BC=AC,∠B=∠ACF=60°，∠1+∠2=60°

又∵∠GAH=∠2+∠3=60°

∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°

∴∠1+∠3

在△ABE和△ACF中

∠1+∠3

AB=AC

∠B=∠ACF

∴△ABE≌△ACF(ASA)

∴BE=CF

(2)  BE=CF的结论成立

理由:

∵等边△ABC和△ACD全等

∴AC=CD=AD,∠ADC=∠DCA=∠CAD=∠1+∠2=60°

又∵∠GAH=∠2+∠3=60°

∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°

∴∠1=∠3。

∵∠ADF=180-∠ADC

∠ACE=180-∠DCA

∴∠ADF=∠ACE

在△ADF和△ACE中

∠1=∠3

AC=AD

∠ADF=∠ACE

∴△ADF≌△ACE(ASA)

∴CE=DF

又∵BC=CD

∴CE+BC=DF+CD

即BE=CF

Answer 2

(1)BE＝CF 理由如下：
连AC。
∵∠EAF＝∠BAC
∴∠CAF＋∠CAE＝∠CAE＋∠BAE
∴∠CAF＝∠BAE
∵△ABC和△ACD是正三角形
∴∠B＝∠ACD＝60° AB＝AC

在△ABE和△ACF中
∠B＝∠ACF
AB＝AC
∠BAE＝∠CAF
∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴BE＝CF

（2）成立。理由如下：
连AC
∵∠EAF＝∠CAD＝60°
∴∠CAE＝∠DAF
∵△ABC和△ACD是正三角形
∴∠ACE＝∠ADF＝120° AC＝AD＝BC＝CD

在△ACE和△ADF中
∠CAE＝∠DAF
AC＝AD
∠ACE＝∠ADF
∴ACE≌ADF(ASA)

∴CE＝DF
∴CE＋BC＝DF＋CD
∴BE＝CF本回答被提问者采纳

Answer 3

（1）BE=CF
证明：连AC
因为两个全等的等边△ABC和△ACD，
∴AB=AC,∠ABC=∠ACF，∠BAC=60°=∠EAF
又∵∠BAC=∠BAE+∠EAC,∠EAF=∠CAF+∠EAC
∴∠BAE=∠CAF
∴△BAE≌△DAF
所以BE=CF
（2）结论仍成立
证明：连AC
因为两个全等的等边△ABC和△ACD
∴∠CAD=∠EAF，∠BCA=∠CDA
∵∠CAD=∠CAE+∠EAD,∠EAF=∠FAD+∠EAD
∴∠CAE=∠FAD
因为∠BCA=∠CDA
∠ACE=∠ADF
又AC=AD
△ACE≌△ADF
∴CE=DF
∵BC=CD
∴BE=CF

Answer 4

这个题很不错嘛！