你的问题。
设函数f（x）在某U（x0）邻域二阶可导，且x0为拐点。
第一个。拐点就是f
‘(x)极值点。
按照拐点定义，拐点两侧的函数凹凸性不同。
设在U-（x0）（即x0左邻域）函数是凸函数，在U+（x0）（即x0右邻域）函数为凹函数。
因为函数二阶可导，所以根据凹凸性充分必要条件
对于x∈U-（x0），f
"（x）=[f
'（x）]
'≥0.（在左邻域是凸函数）
对于x∈U+（x0），f
"（x）=[f
'（x）]
'≤0.（在右邻域是凹函数）
所以由极值第一充分条件得到函数f
'（x）在x0取得极大值。
类似可以讨论在U-（x0）（即x0左邻域）函数是凹函数，在U+（x0）（即x0右邻域）函数为凸函数的情况。
所以f(x)拐点就是f
'(x)极值点。
而f
'(x)极值点是否是f(x)拐点呢？我觉得不是。对于一次多项式函数。它们的导函数显然有极值点（导函数是常函数，每个点都是极值点），但是这种函数却没有拐点，既然连拐点都没有那当然不能说极值点就是拐点了。
另外对于你图片里面最上面的红线所画出的部分。因为根据拐点定义，如果某点是函数的拐点，那么函数在该点的切线与这个函数必相交于这个拐点，也就是说函数在该点的切线在这个点穿过曲线（这个是直观的说法）。这样就要求曲线在该点有切线，既然要求有切线，如果切线不是垂直切线，那么函数在该点可导，则函数必在该点连续，如果切线是垂直切线那么虽然函数在该点不可导，但是连续。（本段内容请参看任意一本数学分析，推荐华东师大的《数学分析》或者Walter
Rudin的《Principle
of
Mathematical
Analysis》）
而你第三条红线下面的那一段，就是那个”注“。实际上是极值第三充分条件。
以上内容可参考华东师范大学数学系编著的《数学分析》，”微分中值定理及其应用“这一章
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考