7.1.1 岩、矿石在电磁场中的电学性质
在交变电磁场中，岩、矿石除显示与电阻率有关的传导电流外，还显示与介电常数有关的位移电流。因此，总电流密度为
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jP和jD分别表示传导电流密度和位移电流密度，且有
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式中：D为观测点的电位移；E为电场强度。
设E为谐变场，E=E0e-iωt，则jD=-iωεE，于是（7.1-1）式变为
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定义j=σ*E，则有复电导率σ*
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或复电阻率ρ*
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定义j=-iωε*E，则有复介电常数ε*
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上式中虚部对实部的比给出了称为介质的“电磁系数（m）”或“损耗角正切（tanδ）”的物理量，即
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式中：εr为相对介电常数（εr=ε/ε0，ε0≈8.85×10-12 F/m.为其空中的介电常数）。
我们知道，任何介质都不同程度地具有导电性和介电性，结果是导致了部分电磁能量转变为热量而损耗，损耗角δ就是衡量这一损耗的参数。它的另一功能（用电磁系数m表示）则是表明介质的性质。tanδ（或m）=1，表示传导电流和位移电流具有同等重要性，即介质导电性和介电性相当。tanδ（或m）＞1表示产生热损耗的传导电流变得更重要，介质类似于导电体。tanδ（或m）＜1，表示产生热损耗的位移电流变得更重要。介质类似于介电体。m=1对应的频率很重要，它区分了导电体和介电体，故称这个频率为临界频率。
由表7-1可见，绝大多数造岩矿物的相对介电常数不超过10～11。然而，一些氧化物、硫化物和碳酸盐的εr值可达20甚至80～170（如金红石）。火成岩的εr变化范围为7～15，其中基性岩和超基性岩相对偏高，酸性岩相对较低，变质岩的εr在5～17范围内变化，而沉积岩变化范围较宽（2.5～40）。除矿物成分是影响坚固和干燥的岩石εr的重要因素外，对广泛分布的岩石，尤其是沉积岩，影响相对介电常数的主要因素是湿度，且水分子的极化是介质极化的主要原因。对大多数疏松沉积岩而言，相对介电常数随岩石湿度的增大而增大，见图7-1。由图可见，随着湿度的增加，εr一开始很快增加，最后达到饱和值100。在低频电场中，湿度较低（1%）条件已出现εr的急剧上升；而在高频电场中，当湿度很高（10%～30%）时才出现εr的急剧上升。
表7-1 20 ℃条件下岩、矿石相对介电常数的损耗角正切
由（7.1-4）式可得到复电阻率的振幅
图7-1 不同频率条件下石英砂的εr与湿度W（%）的关系曲线（虚线表示假设曲线）
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从上式可以看出，当 m≥10时，近似地|ρ*|不随频率变化，即
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当m≤0.1时，ρ*反比于频率，即
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此式表明了完全介电体的导电性，在双对数坐标系中是一条斜率为-1的直线，相当于完全干燥的岩石标本情况。在临界频率之前，复电阻率为一水平线，是导电性的特征，岩石中含有水分时的离子导电就是这一情况。
图7-2是湿态和干态辉长岩的相对介电常数、损耗角正切、电阻率等参数与频率依赖关系的标本测量曲线。由图可见，随着频率的增高，湿态标本的介电常数和损耗角下降，且趋近于干态的常数值。相反，对复电阻率曲线而言，湿态标本的电阻率从105～106 Hz开始下降，并趋近于干态的45°角渐近线。这一频率可称为临界频率。由此可见，在低频电磁场（f＜n×1000 Hz）中，可以认为电阻率是不随频率变化的。
图7-2 湿态和干态辉长岩电性常数频谱曲线
磁导率是电磁感应法中利用的另一重要物
性参数，它表征物质在磁化作用下集中磁力线的性质。
众所周知，磁感应强度B与磁场强度H间存在如下关系
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其中μ为介质的磁导率，或称绝对磁导率，通常表示为
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式中μ0=4π×10-7 H/m为真空的磁导率；μr为相对磁导率。表7-2列出了几种常见矿物的μr值。
表7-2 常见矿物的相对磁导率
由表可见，除极少数铁磁性矿物（磁铁矿、磁黄铁矿和钛铁矿）外，其他矿物的磁导率μ皆与μ0值相差很小。只当岩石或矿石中含有大量铁磁性矿物时，其相对磁导率μr才明显大于1。
7.1.2 交变电磁场在导电介质中的传播
7.1.2.1 波动方程
麦克斯韦方程组是对电磁场基本定律综合分析的结果，是介质中电磁场必须遵从的共同规律。在国际单位制中，时间域的麦克斯韦方程组可写成
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式中E为电场强度（V/m或N/C）；B为磁感应强度（T=N/（A·m）=Wb/m2）；H为磁场强度（A/m）；D为电位移（C/m2）；j为传导电流密度（A/m2）；q为自由电荷体密度（C/m3）。
考虑到介质对电磁场的影响，还应加上一组物质方程
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在电导率不为零的均匀介质中，体电荷不能堆积在某一处，经一段时间（t＜10-6s）被介质导走，故电法勘探遇到的导电介质中
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这时，应用（7.1-9）式可将麦克斯韦方程组中的五个变量消去三个，并考虑（7.1-10）式，得
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对上式第一式两边做旋度运算，并将第二式代入，得
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利用矢量恒等式▽×▽×H=▽▽·H-▽2H，并考虑（7.1-11）式的第三式，最后得
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同理可得
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（7.1-12）式和（7.1-13）式分别为H和E满足的时间域的波动方程，又称之为电报方程。若场的频率很高并对高阻介质（ρ→∞）而言，则上两式右端的第一项可被忽略。这时方程变为纯波动性的。相反，在低频和良导介质（ρ→0）情况下，右端第二项可忽略，方程变为热传导性的（或扩散性的）。由此可见，在良导电或强吸收介质中，电磁扰动的传播是不按波动规律，而是按扩散规律传播的，类似于热传导过程。
在频率域中讨论波动方程同样具有重要意义，这时最重要的时变函数形式是随时间谐变的交变电磁场。
令 H=，E=，将这些关系式代入（7.1-11）式，得
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式中ε*=ε+i 为复介电常数。
从（7.1-14）式容易得到谐变电磁场的基本微分方程——亥姆霍兹齐次方程
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式中
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称为波数或传播系数，忽略位移电流时
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在求解电磁场边值问题时，利用一对矢量H、E很不方便。如果引入一个矢量位，将使求解过程中未知数减少。由电流源引起的矢量位A是这样引入的：从▽·H=0出发，又利用恒等式▽·▽×A=0，可令
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将（7.1-18）式代入（7.1-14）式的第二式，得
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由于上式括号中的矢量是无旋的，故可用任意标量的梯度表示，即取
或
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式中U为电磁场的标量位。在直流电场中，由于ω=0，故E=-▽U。
考虑到（7.1-18）式和（7.1-20）式，将（7.1-14）式的第一式写成
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或
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将带有梯度的项归到一起，并令其为零
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或
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则
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即为矢量位的亥姆霍兹方程。将（7.1-21）式代入到（7.1-20）式，得
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由此可见，我们只需解一次矢量位方程（7.1-22），通过（7.1-18）和（7.1-23）的微分运算就可分别得到磁场和电场。这三个式子组成一方程组
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如果采用磁性激发源（磁偶极子、不接地回线等），则在地中产生涡旋电流。其特点是
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故也可引入磁性源的矢量位A*，即取
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经过类似的推导，可得到相应的方程组
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由方程组（7.1-14）、（7.1-24）和（7.1-26）式不难看出，由电性源方程组转到磁性源方程组或相反转换过程的电磁类比关系为
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因此，在许多情况下不一定分别解电性源和磁性源的正演解，而利用类比关系可直接写出另一类解。
7.1.2.2 边界条件
为了求得波动方程的惟一解，必须附加边界条件使之成为定解问题。若有介质1和介质2，它们的电磁学参数分别为μ1、ε1、σ1和μ2、ε2、σ2，在两种介质分界面上选择如下直角坐标系：x和y轴位于界面上，z轴垂直于界面。在这种情况下，电场和磁场的切线分量连续，而电位移和磁感应强度的法线分量连续，即
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式中脚标t表示切向分量，n表示法线分量。上式也可具体地写成
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下面我们将用场矢量的边界条件来导出电性源矢量位A的边界条件，推导时只须用E和H，将（7.1-18）和（7.1-23）式代入（7.1-29），得到
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由上式可得出电性源矢量位A的边界条件
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上式可合并成
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只要以A*代替A，-ε*代替μ，则根据（7.1-27）式，可直接由上式得到磁性源矢量A*的边界条件
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7.1.2.3 均匀各向同性无限介质中平面电磁波的传播
波阵面为平面的电磁波称为平面电磁波。若场量（电场E或磁场H）只沿着它的传播方向变化，而在这一平面内无变化（振幅为常量），则称为均匀平面波，否则为非均匀平面波。
在电阻率为ρ的均匀各向同性无限介质中选择如下的坐标系统：x和y位于波的极化平面上，z轴位于波的传播方向上，由于xoy平面上场的振幅相同，故∂Ai/∂x=∂Ai/∂y=0（i=x，y，z），式（7.1-22）简化为
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显然，上式的解为
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式中第一项为正向波，表示振幅随远离场源而逐渐衰减，第二项是被反射的负向波。由于介质为均匀各向同性无限介质，故不可能出现负向波，即C2=0，故最终解为
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由（7.1-24）式可写出H和E的分量表达式，令∂Ai/∂x=∂Ai/∂y=0，并将上式代入，即可求得电磁场各分量的表达式
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上式为复数式，且沿Z轴的正方向按指数规律衰减。现将波数k分成实、虚部。为此令
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与波数表达式（7.1-16）等同起来，取平方后解得
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式中 m=为介质的电磁系数。
将（7.1-35）式代入（7.1-34）式，对Ex分量得
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其振幅和相位分别为
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上式第一式表明，波在介质中传播时，其振幅是随指数规律减少的，故称k的实部b为衰减系数。由于电场沿z方向前进1/b距离时，振幅衰减1/e倍，习惯上将δ=1/b称为电磁波的趋肤深度。上式第二式表示了被测信号与电流源间的相关关系是随时间变化的，故k的虚部a称为相位系数，令在Δt时间内平面波的波阵面发生Δz的位移，则
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考虑到相位相同，故有等式
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于是，得到相速度
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在良导介质中，或波的频率很低，以至 m≫1时，可以忽略位移电流，由（7.1-17）和（7.1-36）式，有
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在无磁性介质中，μr=1，μ=μ0=4π×10-7 H／m，则
相速度为
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波长为
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趋肤深度为
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可见电磁波的趋肤深度随电阻率的增加和频率的降低而增大。因此深部地质调查应采用较低的工作频率。
将（7.1-38）第二式代入（7.1-35），则波数可表示为
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考虑到（7.1-39）和（7.1-38）第四式，由上式还可得
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k 的模为
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7.1.2.4 波阻抗
为了消除（7.1-34）式中的未知系数Cx和Cy，取如下比值
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可见这个比值具有阻抗的量纲，它是平面电磁波在均匀各向同性导电介质中传播时遇到的复波阻抗，是介质对电磁波传播的一种物理特性。上式表明，在均匀各向同性介质中，阻抗Zxy和Zyx的振幅相同，相位相反。
利用（7.1-38）第一式，可将（7.1-41）第一式写成
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此式表明，在均匀介质中，电场在相位上落后于磁场π/4。如果介质不均匀，则电场和磁场之间的相位偏离π/4。这就是在电磁法中利用相位特性的依据。
由（7.1-42）式可写出
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或
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上式表明，当平面波垂直入射到均匀各向同性介质时，通过测量相互正交的电场和磁场分量，可确定介质的电阻率。若介质为非均匀的，则计算的电阻率为视电阻率。
由（7.1-43）式还可以看出，如果介质电阻率为已知，则可确定介质的磁导率
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7.1.3 地中交变电磁场的分布
7.1.3.1 人工源谐变电磁场
（1）谐变场的分布特征
在频率域电磁法中常用的波场是谐变场。其中场强、电流密度以及其他量均按余弦或正弦规律变化，即
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这里φH和φE为初始相位。
借助于交流电的发射装置，如振荡器、发电机等，在地中及空气中建立谐变场。激发方式一般为接地式的和感应式的。第一种方式与直流电法一样，利用A、B供电电极将交流电源直接接到大地，见图7-3（a）。由于供电导线和大地不仅具有电阻，而且还具有电感，所以由A、B电极直接传入地中的一次电流场在相位上与电源相位发生位移。地中的分散电流及供电导线中的集中电流均在其周围产生交变一次磁场。后者在地中又感应产生二次电场，它是封闭的涡旋电场。严格地讲，除这两种场外，随着供电电源频率的不同，在地中还产生另一种起因的电场：超低频率时产生激发极化场；超高频率时产生位移电流场。在电磁感应法中一般不考虑这些场，即它们小到可以被忽略。如果地下介质不均匀，则在覆盖层、围岩及局部导体上均产生涡旋电场。其电流密度大小取决于各地质体的电阻率，即由欧姆定律决定。由此可见，欧姆定律和法拉第电磁感应定律是电磁法的物理基础。除涡旋电场外，被电流线穿过的电阻率分界面上产生的积累电荷和具有不同磁导率的分界面上产生的感应磁荷，也是电磁法的异常源。
图7-3 谐变场的激发方式
传导类电场和感应类电场是叠加在一起的。如果观测是在 A、B 连线附近（即近区）进行，则观测到两种场叠加的总合场。为了削弱传导类场可将 A、B 供电电极埋置在远离测区的地方，这时在测区范围内与感应场比较可忽略传导类电场，即研究纯感应场。这种方法称之为无限长导线法。如果观测点是在距 A、B 连线外的很远处，则 A、B 供电电极已成为电偶极子。交变电磁场的第二种激发方式是，在地表敷设通有交变电流的不接地回线或者多匝的小型发射线圈———磁偶极子（见图7-3（b））。在回线或线圈周围产生交变磁场，由它激发地中的二次电场，从而又产生二次磁场。感应激发方式多半用于接地条件较差的地方。这时可彻底摆脱接地的困难。电源的一次磁场和地中二次磁场叠加在一起，形成总合磁场。在远离发射源的地方（远区），二次磁场占优势。磁场在地表具有不均匀平面波的特点，并由地表垂直地向地下深处传播（见图7-4）。特别地，我们将这种具有垂直向下传播的平面波的“远区”又称为“波区”。图中的 A、B 供电电极可用发射线框代替。
图7-4 在远区形成不均匀平面波示意图
（2）谐变场的结构特征
地中二次电、磁场的频率与激发它们的一次电、磁场的频率相同，但二次场的相位比一次场滞后一个相位φ。相位滞后是由于地下介质的电阻性和电感性造成的。由于一次场和二次场在观测点上的空间取向不同，所以这两种场的合成结果必然形成椭圆。总磁场（或总电场）矢量端点随时间变化的轨迹为椭圆的场叫做椭圆极化场。设有水平方向的一次磁场H1=H10cosωt，二次磁场有相位移φ，则H2=H20cos（ωt+φ）。总磁场的水平分量为
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式中H2x0为二次磁场振幅在水平方向的分量。总磁场的垂直分量为
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由此可见，有相位差的两个矢量合成的总合场在直角坐标系中的各分量，不仅其振幅不同，而且相位也不同。在一般情况下可写成
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下面讨论XOZ平面内Hx和Hz场的极化情况。由于
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故利用（7.1-45）式，将上式整理成
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两端平方后，整理得
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此式乃为以Hx和Hz为变量的椭圆方程。当φx=φz时，即在XOZ平面内无相位差时，上式变为
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这意味着椭圆蜕化为直线，即为线性极化场，但在其他两个平面内仍可能呈椭圆极化。如果φx-φz=π/2及Hx0=Hz0，则场在XOZ平面内呈圆极化。
设极化椭圆长轴与X轴的夹角为θ，由解析几何的转轴公式可导出θ与长半轴a、短半轴b的表达式
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地中电磁场的椭圆极化现象是电磁感应场的重要结构特征。它可反映地下不同导电地质体的存在，并且其变化反映了电参数的变化。一般情况下，H2≪H1，则可推导出如下近似关系式
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由此可见，椭圆极化率b/a及椭圆倾角θ分别与二次场虚分量和实分量对一次场H1之比有关。
7.1.3.2 瞬变电磁场
在图7-3所示的装置中输入阶跃电流，这时在阶跃变化电流源（通电或断电）作用下，地中产生过渡过程的感应电磁场将具有瞬时变化的特点，这种电磁场就称为瞬变电磁场。与谐变场情况一样，瞬变场的激发也有接地式和感应式两种方式。
（1）瞬变场随时间的变化规律
在过程的早期，瞬变场频谱中高频成分占优势，因此涡旋电流主要分布在地表附近，且阻碍电磁场的深入传播。在这一时间内，电磁场主要反映浅层地质信息，且具有很强的分层能力。随着时间的推移，介质中场的高频部分衰减（热损耗），而低频部分的作用相对明显起来，增加了穿透深度。在往下传播过程中，若遇到良导地层时，就会产生较强的涡旋电流，且其持续时间也较长。
在过程的晚期，局部的涡流实际上衰减殆尽，而各层产生的涡流磁场之间的连续相互作用使场平均化，几乎同步衰减，则可以将整个层状断面等效为具有总纵向电导S的一个层，这时只能确定沉积盖层的总纵向电导和总厚度，有利于确定基底起伏。
瞬变电磁场状态的基本参数是时间。这一时间依赖于岩石的导电性和发-收距。在近区的高阻岩石中，瞬变场的建立和消失很快（几十到几百毫秒）。在良导地层中，这一过程变得缓慢。在远区这一过程可持续到几秒到几十秒，而在较厚的导电地质体中可延续到一分钟或更长。
由此可见，研究瞬变电磁场随时间的变化规律，可探测具有不同导电性的地层分布（各层的纵向电导或地层总的纵向电导），也可以发现地下赋存的较大的良导矿体。
（2）瞬变场的结构特征
瞬变电磁场是通过两种途径传播的。第一种途径是电磁波在空气中以光速很快传播到地表各点，根据惠更斯原理，地表每个波前点成为球面波源，将部分电磁能量传入地下。在距发射装置足够远处（即远区），在地表上形成垂直向下传播的不均匀平面波。第二种途径是，由发射装置接地处流入地下的电流或一次磁场在导电介质中感应的电流形成磁场，直接将电磁能量传入地中，由于大地的电抗作用，这时建立的瞬变场比第一种途径建立的瞬变场迟缓。因而在过程早期，上述两种激发建立的场在时间上是分开的。随着时间的推移，这两种场相互叠加且以场强的极大形式显示出来。在晚期，第一种途径建立的场在各处衰减殆尽，第二种途径建立的场在地中占据主导地位。
瞬变场与谐变场比较，在结构上差别很大。谐变场的结构由固定频率的涡旋电流磁场的相互作用来确定。瞬变场的结构则从过程的一开始就由多种频率的涡旋电流磁场的相互作用决定。第一种途径激发产生的地中电场结构与谐变场一致，只是频率成分不同。第二种途径激发产生的地中电场服从热传导的规律，其结构特点是，随时间的推移，场向深处传播过程中逐渐向外扩散，故可借用“烟圈”效应来描述其涡旋电流。图7-5形象地给出了谐变场和瞬变场的涡旋电流的结构。
图7-5 谐变场（远区）和瞬变场（晚期）涡旋电流的结构