一元函数积分学 设函数f（x）在[0，π]上连续，在（0,π）内可导，且∫（0-π）f（x）cos

Question

一元函数积分学
设函数f（x）在[0，π]上连续，在（0,π）内可导，且∫（0-π）f（x）cosxdx=∫（0-π）f（x）sinxdx=0 证明:存在ξ∈（0，π）使得f'（ξ）=0

Answer 1

对∫(0到π)f(x)cosxdx分部积分：∫(0到π)f(x)cosxdx=∫(0到π)f(x)d(sinx)=f(x)sinx|(0~π)-∫(0到π)f'(x)sinxdx=0

∴∫(0到π)f'(x)sinxdx=0

由积分中值定理，存在一点a使得∫(0到π)f'(x)sinxdx=(π-0)f'(a)sina=0

又∵sina在(0,π)内恒大于零

∴f'(a)=0

证明完毕

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

追问

那它的∫（0-π）f（x）sinx=0,这个条件貌似没有用上啊？

追答

对啊 没用上 不用非得用上吧 我认为

追问

行，

这题还是不行啊

f'（x）没有说连续

所以不能用分布积分法

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Answer 3

Answer 4