什么是连续函数 连续函数与可导函数的区别

Question

如题所述

Answer 1

从逻辑上看，连续不一定可导，但是，可导一定连续；
从定义上看，在(a,b)内连续的函数，它在每一点的左右极限都存在且相等，且极限值等于该点的函数值。在(a,b)内的可导函数，它在每一点的左右导数都存在且相等。
从图象上看，连续函数的图象是一条没有间断的曲线。可导函数的图象是一条没有间断，且比较平滑的曲线。

Answer 2

即在任意一点，函数值与该点左右两侧极限值相等，边是：f(a)=㏕f(x)(x→a)
区别：可导函数必定连续，但是连续函数不一定可导。如y=|x|

Answer 3

连续函数是左右极限都相同 可导一定连续 连续不一定可导

Answer 4

连续性的精确定义：
如果对于任意不论多么小的正数e，总能找到一个正数o（依赖于e），使得对满足不等式
|x-x0|<e
的所有x都有
|f(x)-f(x0)|<e
那么就说函数f(x)在x=x0是连续的
【依赖于的意思是通过e得到o，例如o=e^3，注意这种关系不能倒过来】
【形象地说就是没有断点】

可导性【也叫可微性】的定义：
如果差商
[f(x0+d)-f(x0)]/d
当d不论从哪边趋于0时，都有唯一的极限f'(x0)，那么就说函数f(x)在x=x0是可微的
【形象地说就是光滑】

不连续的例子：f(x)=x^3/x在x=0处
连续但在某些点不可微的例子：f(x)=|x|在x=0处；f(x)=x*sin(1/x)，定义f(0)=0，在x=0处（图像上看在x=0处震荡无数次）
连续但处处不可微的例子：魏尔斯特拉斯函数（见http://baike.baidu.com/link?url=8g7Umo6QoypqzQI9k9qSVYaU8XK1CMA5_IvqKqv0BKMv_kFooPTzpECwOY9UUaposoXVdMww4WOYCkBJB5Hqa_）

从可微性可以推导出连续性，但反过来不行

Answer 5

【1】连续：函数图象犹如一根导线,导电则连续,不导电则不连续
可导：函数连续的前提下,图象是圆滑的则可导,若函数图象上有尖点,则在尖点处左右极限不相等,不可导
因此,可导必连续,但连续不一定可导.

【2】可导必连续；连续不一定可导函数的连续是可导的必要而不充分条件 函数在某一点可导不仅要求连续，而且要求从两边渐进该点时的Δy/Δx相同如y=|x|

【3】函数的连续
可导必连续；连续不一定可导
函数的连续是可导的必要而不充分条件