函数连续性的证明方法主要有以下几种：
1.直接法：直接根据函数连续性的定义进行证明。如果一个函数在某一点连续，那么它在该点的极限存在且等于函数值。因此，我们可以通过计算函数在该点的极限来证明其连续性。
2.夹逼定理：如果一个函数被两个其他的函数所夹住，并且这两个函数在相同的区间上都是连续的，那么被夹住的函数在这个区间上也是连续的。这是因为，无论我们在哪个点接近这个区间，被夹住的函数的值都会被夹住的函数的值所逼近。
3.介值定理：如果一个连续函数在区间[a,b]上的值域包含了c，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=c。这个定理可以用来证明函数在某个区间上的连续性。
4.微分中值定理：如果一个函数在区间[a,b]上连续，并且在区间(a,b)内可导，那么存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理可以用来证明函数在某个区间上的连续性。
5.反证法：假设函数在某个点不连续，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明函数在该点是连续的。
6.利用已知的连续性性质：例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等在其定义域内都是连续的，可以利用这些性质来证明其他函数的连续性。
以上就是函数连续性的主要证明方法，不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题来选择合适的证明方法。